Question

Один з коренів рівняння х^3+2x^2-x+a=0 дорівнює 1. Знайдіть решту коренів цього рівняння.

Answer 1

$x^3+2x^2-x+a=0$

Так как x=1 - один из корней уравнения

$1^3+2\cdot1^2-1+a=0 \ \Rightarrow \ a=-2$

Подставляем a, получили уравнение

$x^3+2x^2-x-2=0\\ x^3-x+2x^2-2=0\\ x(x^2-1)+2(x^2-1)=0\\ (x^2-1)(x+2)=0\\ (x-1)(x+1)(x+2)=0\\ x=1; \ \ \ x=-1; \ \ \ x=-2$

Ответ: -2; -1; 1

Answer 2

Якщо один із коренів рівняння $x^3 + 2x^2 - x + a = 0$ дорівнює 1, то ми можемо використовувати теорему Вієта для кубічного рівняння. Згідно з теоремою Вієта, сума коренів кубічного рівняння зі знаком мінус перед другим коефіцієнтом (у вас це $2x^2$) дорівнює відповідному коефіцієнту, тобто -2.

Також згідно з теоремою Вієта, произведение коренів кубічного рівняння зі знаком мінус перед останнім коефіцієнтом (у вас це $a$) дорівнює відповідному коефіцієнту, тобто $a$.

Отже, ми маємо наступну інформацію:

1. Сума коренів дорівнює -2.
2. Произведение коренів дорівнює $a$.

Ми вже знаємо, що один із коренів дорівнює 1. Нехай інші два корені будуть $x$ і $y$.

Зараз ми можемо записати наступну рівність для суми коренів:

1 + $x$ + $y$ = -2

Також ми можемо записати рівність для произведения коренів:

1 * $x$ * $y$ = $a$

Ми знаємо, що один із коренів дорівнює 1, тому $x = 1$. Підставимо це в першу рівність:

1 + 1 + $y$ = -2

2 + $y$ = -2

$y$ = -2 - 2

$y$ = -4

Отже, інші два корені цього рівняння дорівнюють 1 і -4.