Question

Наибольшее значение функции у=4х-4tgx+π-9 на отрезке [-π/4;π/4] равно

Answer 1

$y = 4x - 4tgx + \pi - 9$

1) Находим производную функции, используя формулу:


( v + u )' = v' + u' - производная суммы


у' = 4 - ( 4/ cos²x )


2) Приравняем найденную производную к нулю:

4 - ( 4/ cos²x ) = 0

( 4 - 4cos² )/ cos²x = 0 : cosx ≠ 0

4 - 4cos²x = 0

cos²x = 1

cosx = ± 1

x = πn, n € Z

x = 0 € [ - π/4 ; π/4 ]

3) Подставляем в начальную формулу:

х(0) = 4×0 - 4×tg0 + π - 9 = π - 9 - не подходит, так как должно получиться целое число

х ( -π/4 ) = 4×( -π/4 ) - 4×tg( - π/4 ) + π - 9 = - π + 4 + π - 9 = - 5 - целое число, подходит

x ( π/4 ) = 4× ( π/4 ) - 4× tg ( π/4 ) + π - 9 = π - 4 + π - 9 = 2π - 13 - не подходит


ОТВЕТ: - 5

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 4x - 4\tan(x) + \pi - 9$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$.

2. Найдем критические точки функции $y$ на интервале $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ путем приравнивания производной к нулю.

3. Оценим значение $y$ в критических точках, а также на граничных точках интервала.

4. Найдем наибольшее из этих значений.

5. Найдем производную $y$ по $x$: $y'(x) = 4 - 4\sec^2(x)$.

6. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: $4 - 4\sec^2(x) = 0$.

   Решим это уравнение: $4\sec^2(x) = 4$.

   $\sec^2(x) = 1$.

   $\sec(x) = \pm 1$.

   Так как $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$, то $\sec(x) = 1$ означает $\cos(x) = 1$, а $\sec(x) = -1$ означает $\cos(x) = -1$.

   На отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ имеем $\cos(x) > 0$, поэтому $\cos(x) = 1$ на этом интервале.

   Таким образом, уравнение $\sec(x) = 1$ имеет решение только при $x = 0$.

7. Теперь оценим значение $y$ в найденной критической точке ($x = 0$) и на граничных точках интервала:

   • $y(0) = 4 \cdot 0 - 4 \cdot \tan(0) + \pi - 9 = \pi - 9$.

   • $y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4 \cdot \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi - 9 = -\pi - 9$.

   • $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{\pi}{4} - 4 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \pi - 9 = \pi - 9$.

8. Найдем наибольшее из этих значений: $\pi - 9$, $-\pi - 9$, $\pi - 9$.

Наибольшее значение функции $y$ на интервале $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ равно $\pi - 9$.