Question

Используя деление "уголком", запишите в каноническом виде частное при делении многочлена h(x) = x^3+kx^2-x-6 на двучлен (x-3). Найдите все корни многочлена и разложите его на множители. ​

Answer 1

Ответ:

=======

Объяснение:

Answer 2

Відповідь:

Пояснення:

Answer 3

Для того чтобы разделить многочлен h(x) на двучлен (x-3) "уголком", выполним деление с остатком. Сначала найдем частное:

1. Делим x^3 на x и получаем x^2.
2. Умножаем (x-3) на полученное частное x^2 и получаем x^3 - 3x^2.
3. Вычитаем результат из исходного многочлена h(x): x^3 + kx^2 - x - 6 - (x^3 - 3x^2) = kx^2 - x - 6 + 3x^2 = (k+3)x^2 - x - 6.

Теперь у нас есть новый многочлен (k+3)x^2 - x - 6, который нужно разделить на (x-3).

4. Делим (k+3)x^2 на (x-3) и получаем (k+3)x.
5. Умножаем (x-3) на полученное частное (k+3)x и получаем (k+3)x^2 - 3(k+3)x.
6. Вычитаем результат из (k+3)x^2 - x - 6: (k+3)x^2 - x - 6 - [(k+3)x^2 - 3(k+3)x] = (k+3)x^2 - x - 6 - (k+3)x^2 + 3(k+3)x = -4(k+3)x - 6.

Теперь у нас есть новый многочлен -4(k+3)x - 6, который нужно разделить на (x-3).

7. Делим -4(k+3)x на (x-3) и получаем -4(k+3).
8. Умножаем (x-3) на полученное частное -4(k+3) и получаем -4(k+3)x + 12(k+3).
9. Вычитаем результат из -4(k+3)x - 6: -4(k+3)x - 6 - (-4(k+3)x + 12(k+3)) = -4(k+3)x - 6 + 4(k+3)x - 12(k+3) = -12(k+3).

Теперь мы получили многочлен -12(k+3), который уже не делится на (x-3), так как степень многочлена -12(k+3) (константа) меньше степени делителя (x-3). Значит, деление закончено.

Теперь давайте найдем корни многочлена h(x):

1. Корни (или нули) многочлена h(x) - это значения x, при которых h(x) = 0.
2. Мы знаем, что h(x) = (x-3)(k+3)(x-3), так как мы разделили h(x) на (x-3).
3. Исходный многочлен h(x) = x^3 + kx^2 - x - 6.

Из этой информации мы видим, что корень x = 3 многочлена h(x) имеет кратность 2 (поскольку (x-3) встречается дважды) и корень x = -3 - это корень многочлена (x-3)(k+3)(x-3). Теперь давайте найдем значение k:

k+3 = -6

k = -6 - 3

k = -9

Таким образом, многочлен h(x) = x^3 + kx^2 - x - 6 имеет корень x = 3 кратности 2 и корень x = -3, и его разложение на множители будет:

h(x) = (x-3)^2(x+3)