Question

Построить график асимптот функции y=3x+1/x-2

Answer 1

Ответ:

Классификация асимптот

Вертикальные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты.

Наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты

Уравнение любой вертикальной прямой, то есть прямой, параллельной оси OY, имеет вид x=a.

Вертикальные асимптоты

Если прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), то очевидно, что хотя бы один из односторонних пределов  или  равен бесконечности (+∞ или -∞).  

Все функции с бесконечными разрывами (разрывы второго рода) имеют вертикальные асимптоты.

ПРИМЕР 1. Найти уравнение вертикальных асимптот графика функции .  

Решение. Видим, что y→∞, если x→1, точнее , , то есть прямая x=1 является вертикальной асимптотой, причем двусторонней.

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Всякая горизонтальная прямая имеет уравнение y=A.  

Если прямая y=A является горизонтальной асимптотой кривой y=f(x), то .

ПРИМЕР 2. Найти горизонтальные асимптоты кривой .  

Решение. Найдем , то есть y→0 при x→+∞ и при x→-∞, значит прямая y=0 – горизонтальная асимптота данной кривой.

Наклонные асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y=kx+b. По определению асимптоты  или  (1)  

Разделим обе части этого равенства на x: , откуда  

(2)  

Теперь из (1):  

(3)  

Для существования наклонных асимптот необходимо существование пределов (2) и (3). Если хотя бы один из них не существует, то наклонных асимптот нет. Пределы (2) и (3) нужно находить отдельно при x→+∞ и при x→-∞, так как пределы могут быть разными (функция имеет две разные асимптоты).

ПРИМЕР 4. Найти наклонные асимптоты графика функции .  

Решение. По формуле (2) найдем .  

Теперь найдем . Получаем уравнение наклонной асимптоты y=x+1.

ПРИМЕР 5. Найти асимптоты кривой y=(x-1)2(x+3).  

Решение. Вертикальных и горизонтальных асимптот нет, так как y→∞ при x→∞. Ищем наклонные:  

.  

Таким образом, кривая асимптот не имеет.

ПРИМЕР 6. Найти асимптоты кривой .  

Решение. Поскольку y→∞ при x→0 и при x→4, то прямые x=0 и x=4 являются вертикальными асимптотами. Так как , то y=2 – горизонтальная асимптота. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот: , следовательно, кривая наклонных асимптот не имеет (искать “b” не имеет смысла, так как горизонтальные асимптоты уже найдены).

ПРИМЕР 7. Построить все виды асимптот к функции  

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:  

 

Находим коэффициент k:  

 

Находим коэффициент b:  

 

Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = -x  

Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:  

 

 

Находим переделы в точке  

 

 

- является вертикальной асимптотой.  

Находим переделы в точке  

 

 

- является вертикальной асимптотой.

Объяснение:

Вот

Answer 2

О, это задача на построение графика! Асимптоты — интересная тема. У функции y = 3x + 1/(x - 2) есть вертикальная асимптота при x = 2. Почему?