Question

Докажите что выражения принимают лишь положительные значения а)x^2+2х+5 б)x^4+2x^2+4

Answer 1

а)x^2+2х+5  = х² + 2х + 1 + 4 = (х+1)² + 4 >0

квадрат всегда неотрицательный да +4, точно положительно

б)x^4+2x^2+4 = х^4 +2x² + 1 + 3 = (x²+1) + 3 >0

квадрат всегда неотрицательный да +3, точно положительно

Answer 2

Чтобы доказать, что данные выражения принимают только положительные значения, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата. Для этого мы представим каждое выражение в виде квадратного трехчлена (полного квадрата) и покажем, что они всегда больше или равны нулю.

а) Рассмотрим выражение x^2 + 2x + 5. Для завершения квадрата добавим и вычтем (2/2)^2 = 1 внутри скобки:

x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 5 - 1

Теперь выразим первую часть как квадратный трехчлен:

x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Таким образом, мы получаем:

x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4

Теперь видно, что (x + 1)^2 является квадратом, и поскольку квадрат числа всегда больше или равен нулю, то (x + 1)^2 + 4 также всегда больше или равно нулю.

b) Рассмотрим выражение x^4 + 2x^2 + 4. Аналогично, представим его в виде завершенного квадрата:

x^4 + 2x^2 + 4 = (x^4 + 2x^2 + 1) + 3

Теперь выразим первую часть как квадратный трехчлен:

x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2

Таким образом, мы получаем:

x^4 + 2x^2 + 4 = (x^2 + 1)^2 + 3

По аналогии с предыдущим случаем, (x^2 + 1)^2 всегда больше или равно нулю, и добавление 3 не изменит этот факт. Таким образом, x^4 + 2x^2 + 4 также всегда больше или равно нулю.

Таким образом, оба данных выражения всегда принимают только положительные значения.