Question

X^2+4/x^2-4 Найдите экстремумы функции Срочно! с меня 20б

Answer 1

Экстремумы - это значения х, при которых производная = 0 .
производную ищем по  формуле :(U/V)' = (U'V - UV')/V²
1) ( (х^2+4)/(x^2-4) )' = ((х^2+4)' *(x^2-4) - (х^2+4)(x^2-4)') / (x^2-4) ²=
=(2x(x² -4) - (x² +4)*2x)/(x² -4)² = (2x³ -8x -2x³ -8x)/(x² -4)² = -16x/(x² -4)².
2)  -16x/(x² -4)² = 0, ⇒ -16x = 0          x = 0
                                      x² -4 ≠ 0, ⇒   x ≠ +-2
-∞        -2             0           2          +∞
       +            +            -           -         это знаки производной
х = 0 это точка максимума
х = 2  и   х = -2 это точки разрыва.
      

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Решите уравнение $f'(x) = 0$ для нахождения критических точек.
3. Исследуйте знаки производной в окрестности критических точек, чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную $f(x)$:

$f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right)$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4)\frac{d}{dx}(x^2 + 4) - (x^2 + 4)\frac{d}{dx}(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4)(2x) - (x^2 + 4)(2x)}{(x^2 - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - 2x(x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4 - x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{2x(-8)}{(x^2 - 4)^2}$

$f'(x) = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2}$

2. Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} = 0$

Уравнение $f'(x) = 0$ имеет один корень $x = 0$.

3. Теперь определим знаки производной в окрестности $x = 0$ для определения характера критической точки:

Для этого мы можем выбрать тестовые значения x в интервалах (-∞, -2), (-2, 0), и (0, 2), и подставить их в $f'(x)$ для определения знаков.

• Если $x < -2$, то $f'(x) > 0$.
• Если $-2 < x < 0$, то $f'(x) < 0$.
• Если $0 < x < 2$, то $f'(x) > 0$.

Теперь мы можем сделать выводы о характере критической точки:

• В точке $x = 0$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это точка максимума.

Таким образом, у функции $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ есть точка максимума при $x = 0$