Question

Как найти знаменатель прогрессии, если известно, что cумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 516, а первый член равен 12.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что сумма трех первых членов равна 516 и первый член равен 12, вам следует использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии.
• $a_1$ - первый член прогрессии.
• $q$ - знаменатель прогрессии.
• $n$ - количество членов прогрессии, для которых вы хотите найти сумму.

В данном случае, $a_1 = 12$, $S_3 = 516$, и $n = 3$. Мы хотим найти $q$.

Подставим известные значения в формулу:

$516 = \frac{12(q^3 - 1)}{q - 1}$

Теперь давайте решим это уравнение. Сначала умножим обе стороны на $q - 1$, чтобы избавиться от дроби:

$516(q - 1) = 12(q^3 - 1)$

Раскроем скобки:

$516q - 516 = 12q^3 - 12$

Теперь приведем подобные члены и перенесем все на одну сторону уравнения:

$12q^3 - 516q - 12 + 516 = 0$

$12q^3 - 516q + 504 = 0$

Теперь давайте разделим уравнение на 12, чтобы упростить его:

$q^3 - 43q + 42 = 0$

Теперь нам нужно найти рациональные корни этого уравнения. Один из рациональных корней этого уравнения равен 3. Поделим уравнение на $q - 3$, чтобы найти оставшиеся корни:

$(q - 3)(q^2 + 3q - 14) = 0$

Первый корень равен 3. Теперь решим квадратное уравнение $q^2 + 3q - 14 = 0$.

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 1$, $b = 3$, и $c = -14$.

$D = 3^2 - 4(1)(-14) = 9 + 56 = 65$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

$q_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$

$q_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2}$

Итак, у нас есть два значения знаменателя прогрессии: $q_1$ и $q_2$. Вы можете выбрать любое из них.