Question

Помогите !!! 60 баллов !!!Исследовать Функцию на экстремумы z=x²-xy+2y²+3x-2

Answer 1

Решение смотри внизу

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем частные производные функции z(x, y): ∂z/∂x = 2x - y + 3 ∂z/∂y = -x + 4y

2. Найдем точки, где частные производные равны нулю, так как экстремумы происходят в таких точках: 2x - y + 3 = 0 ...(1) -x + 4y = 0 ...(2)

3. Решим систему уравнений (1) и (2) для x и y. Мы можем умножить уравнение (2) на 2 и затем сложить его с уравнением (1), чтобы избавиться от переменной y: 2(2x - y + 3) + (-x + 4y) = 0 4x - 2y + 6 - x + 4y = 0 3x + 6 = 0

   Теперь решим это уравнение для x: 3x = -6 x = -2

   Подставим значение x обратно в уравнение (2) для нахождения y: -(-2) + 4y = 0 2 + 4y = 0 4y = -2 y = -1/2

4. Мы нашли стационарную точку, которая является кандидатом на экстремум. Чтобы определить, является ли это точка минимумом, максимумом или седловой точкой, выполним второй дифференциальный анализ. Для этого найдем вторые частные производные функции z(x, y):

   ∂²z/∂x² = 2 ∂²z/∂y² = 4 ∂²z/∂x∂y = -1

5. Вычислим дискриминант: D = (∂²z/∂x²) * (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)² D = (2) * (4) - (-1)² D = 8 - 1 D = 7

6. Теперь используем значение дискриминанта для определения типа экстремума:

   • Если D > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то это точка минимума.
   • Если D > 0 и ∂²z/∂x² < 0, то это точка максимума.
   • Если D < 0, то это седловая точка.

В данном случае, D = 7, что больше нуля, и ∂²z/∂x² = 2, что тоже больше нуля. Поэтому эта точка является точкой минимума функции z(x, y).

Таким образом, минимум функции z(x, y) равен z(-2, -1/2) = (-2)² - (-2)(-1/2) + 2(-1/2)² + 3(-2) - 2 = 4 + 1 + 1 - 6 - 2 = -2.