Question

Найти общий вид первообразной для функции F(x)=(4-5x)^2-1/(2x-1)^3

Answer 1

$f(x)=(4-5x)^2-\frac{1}{(2x-1)^3}\\\\F(x)=\int ((4-5x)^2-(2x-1)^{-3})dx=\\\\=[\; \int (ax+b)^{k}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{k+1}}{k+1} +C\; ]=\\\\=-\frac{1}{5}\cdot \frac{(4-5x)^3}{3} -\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x-1)^{-2}}{-2}+C=\\\\=-\frac{1}{15}\cdot (4-5x)^3+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{(2x-1)^2}+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $F(x) = (4 - 5x)^2 - \frac{1}{(2x - 1)^3}$, вам нужно найти антипроизводную этой функции. Для этого мы можем разбить функцию на две части и найти первообразные для каждой из них, а затем объединить результаты.

Рассмотрим первую часть функции $(4 - 5x)^2$. Мы можем раскрыть этот квадрат:

$(4 - 5x)^2 = 16 - 40x + 25x^2$

Теперь найдем антипроизводную для этой части:

$\int (16 - 40x + 25x^2) dx = 16x - 20x^2 + \frac{25}{3}x^3 + C_1$

Теперь рассмотрим вторую часть функции $-\frac{1}{(2x - 1)^3}$. Мы можем воспользоваться заменой переменных, чтобы упростить интегрирование. Для этого проведем следующую замену:

$u = 2x - 1$

Тогда:

$du = 2dx$

$dx = \frac{1}{2}du$

Теперь мы можем записать интеграл в новых переменных:

$-\int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2}du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^3} du$

Теперь найдем антипроизводную для этой части:

$-\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2u^2}\right) = \frac{1}{4u^2} = \frac{1}{4(2x-1)^2}$

Теперь объединим обе части:

$F(x) = 16x - 20x^2 + \frac{25}{3}x^3 - \frac{1}{4(2x-1)^2} + C_1$

Где $C_1$ - произвольная постоянная, которую можно добавить к решению.