Question

1. Найдите первообразную F(x) для функции f(x)=2+sin4x, если F(п/4)= -3п. В ответе укажите значение F(7п/4) 2. Наибольшее значение первообразной F(x) для функции f(x)=e^x+2x+1 на отрезке [0;2] равно e^2. Найдите наименьшее значение первообразной на этом отрезке 3. График первообразной F(x) для функции f(x)= -6/x^2 на промежутке (-∞;0)проходит через точку (-2;-3). Решите уравнение F(x)=f(x). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший корень

Answer 1

$1. f(x)=2+\sin 4x\\\\F(x)=2x-\frac{\cos4x}{4}+C.\\\\F(\frac{\pi}{4})=-3\pi;\\\\ 2\cdot\frac{\pi}{4}-\frac{\cos\pi}{4}+c=-3\pi;\\\\\frac{\pi}{2}+\frac{1}{4}+c=-3\pi \\\\ C=-3\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\\\\C=-\frac{7\pi}{2}-\frac{1}{4}$

Заданная первообразная - $F(x)=2x-\frac{\cos4x}{4}-\frac{7\pi}{2}-\frac{1}{4}$

$F(\frac{7\pi}{4})=2\cdot\frac{7\pi}{4}-\frac{\cos7\pi}{4}-\frac{7\pi}{2}-\frac{1}{4}=\frac{7\pi}{2}+\frac{1}{4}-\frac{7\pi}{2}-\frac{1}{4}=0.$

ОТВЕТ: 0.

$2. f(x)=e^x+2x+1, \max_{[0;2]}F(x)=e^2.\\\\F(x)=e^x+x^2+x+C.$

График данной первообразная вне зависимости от значения константы на заданном отрезке монотонно возрастает. Поэтому максимальное значение первообразная принимает на правом конце отрезка [0; 2] - т.е. при х = 2.

$F(2)=e^2+2^2+2+C=e^2+6+C=e^2;\\\\e^2+6+C=e^2\\\\6+C=0\Rightarrow C=-6.$

Заданная первообразная - $F(x)=e^x+x^2+x-6.$

Соответственно все из того же факта монотонного возрастания следует и то, что минимальное значение первообразная принимает на левом конце отрезка [0; 2] - т.е. при х = 0.

$F(0)=e^0+0^2+0-6=1-6=-5.$

ОТВЕТ: -5.

$3. f(x)=-\frac{6}{x^2}=-6x^{-2}, x\in(-\infty; 0) \\\\F(x)=-6\cdot\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=-6\cdot\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{6}{x}+C.$

По условию $F(-2)=-3;$

$\frac{6}{-2}+C=-3;\\\\ -3+C=-3\Rightarrow C=0.$

Заданная первообразная - $F(x)=\frac{6}{x}.$

Решим уравнение $F(x)=f(x):$

$\frac{6}{x}=-\frac{6}{x^2}, x\neq 0 \\\\ 6\cdot x^2=x\cdot-6;\\\\6x^2+6x=0;\\\\6x(x+1)=0\Rightarrow x_1=0, x_2=-1.$

Однако вспоминаем про ограничение для самой переменной: $x\neq 0$ (о чем прописано также и в условии существования первообразной). Делаем вывод: уравнение имеет единственное решение $x=-1$

ОТВЕТ: {-1}.

Answer 2

Давайте решим поочередно каждое из предложенных уравнений:

1. Найдем первообразную функции f(x) = 2 + sin(4x):

Сначала найдем первообразную от функции 2, которая равна 2x.

Затем найдем первообразную от функции sin(4x). Для этого используем замену переменной u = 4x:

∫sin(4x) dx = (1/4) ∫sin(u) du = -(1/4) * cos(u) + C = -(1/4) * cos(4x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь суммируем оба слагаемых:

F(x) = 2x - (1/4) * cos(4x) + C.

Используя условие F(π/4) = -3π, подставляем x = π/4:

-3π = 2(π/4) - (1/4) * cos(4(π/4)) + C, -3π = π/2 - (1/4) * cos(π) + C, -3π = π/2 + (1/4) + C, C = -3π - π/2 - 1/4, C = -7π/2 - 1/4.

Таким образом, первообразная F(x) имеет вид:

F(x) = 2x - (1/4) * cos(4x) - 7π/2 - 1/4.

Теперь найдем значение F(7π/4):

F(7π/4) = 2(7π/4) - (1/4) * cos(4(7π/4)) - 7π/2 - 1/4.

Вычислим:

F(7π/4) = (14π - π/4) - (1/4) * cos(7π) - 7π/2 - 1/4, F(7π/4) = 55π/4 + (1/4) - 7π/2 - 1/4, F(7π/4) = 55π/4 - 7π/2, F(7π/4) = (55π - 28π)/4, F(7π/4) = 27π/4.

Ответ: F(7π/4) = 27π/4.

2. Находим наименьшее значение первообразной F(x) для функции f(x) = e^x + 2x + 1 на отрезке [0;2]:

Так как наибольшее значение первообразной F(x) равно e^2, то мы можем найти эту первообразную, интегрировав функцию f(x) на данном отрезке:

∫(0 to 2) (e^x + 2x + 1) dx = [e^x + x^2 + x] (от 0 до 2) = (e^2 + 2^2 + 2) - (e^0 + 0^2 + 0) = e^2 + 4 + 2 - (1 + 0 + 0) = e^2 + 5.

Таким образом, наибольшее значение первообразной F(x) равно e^2 + 5.

3. График первообразной F(x) для функции f(x) = -6/x^2 на промежутке (-∞;0) проходит через точку (-2;-3):

Для начала найдем первообразную F(x) функции f(x) = -6/x^2:

∫(-6/x^2) dx = -6 ∫x^(-2) dx = -6 * (-1/x) + C = 6/x + C,

где C - произвольная постоянная.

Подставляем координаты точки (-2;-3):

-3 = 6/(-2) + C, -3 = -3 + C, C = 0.

Таким образом, первообразная F(x) имеет вид:

F(x) = 6/x.

Теперь решим уравнение F(x) = f(x):

6/x = -6/x^2.

Умножим обе стороны на x^2:

6x = -6.

Решая это уравнение, получаем:

x = -1.

Ответ: Корень уравнения F(x) = f(x) больше -2 и равен -1.