Question

найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х в квадрате -8х+7Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у=1/4х^2 и прямая у=5х-16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Answer 1

1) Вершина параболы y = x^2 - 8x + 7 находится в точке
x0 = -b/(2a) = 8/2 = 4; y(x0) = 4^2 - 8*4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9
Ответ: -9

2) Если две кривые пересекаются, то уравнение из них имеет корни.
1/(4x^2) = 5x - 16
20x^3 - 64x^2 - 1 = 0
Кубическое уравнение, прямо не решается, можно подобрать корни.
y(0) = -1 < 0
y(1) = 20 - 64 - 1 = -45 < 0
y(2) = 20*8 - 64*4 - 1 = 160 - 256 - 1 = -93 < 0
y(3) = 20*27 - 64*9 - 1 = 540 - 576 - 1 = -37 < 0
y(4) = 20*64 - 64*16 - 1 = 1280 - 1024 - 1 = 255 > 0
Значит, 3 < x < 4
Очевидно, при x < 0 будет y < 0, поэтому проверять нет смысла.
Уточняем корень.
y(3,2) = 20*3,2^3 - 64*3,2^2 - 1 = 655,36 - 655,36 - 1 = -1 < 0
y(3,3) = 20*3,3^3 - 64*3,3^2 - 1 = 718,74 - 696,96 - 1 = 20,78 > 0
3,2 < x < 3,3
y(3,21) = 20*3,21^3 - 64*3,21^2 - 1 = 661,52322 - 659,4624 - 1 = 1,06082
3,2 < x < 3,21
y(3,205) = 20*3,205^3 - 64*3,205^2 - 1 = 658,437 - 657,41 - 1 = 0,027 ~ 0
x ~ 3,205; y1 ~ 1/(4*3,205^2) ~ 0,024338; y2 ~ 5*3,205 - 16 = 0,025

Если во 2 номере написано (1/4)*x^2 = 5x - 16, то решение совсем другое.
(1/4)*x^2 - 5x + 16 = 0
x^2 - 20x + 64 = 0
По теореме Виета
(x - 4)(x - 16) = 0
x1 = 4; y(4) = (1/4)*4^2 = 4
x2 = 16; y(16) = (1/4)*16^2 = 64

Answer 2

1. $y=x^2-8x+7$ . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, минимальное значение функции соответствует вершине параболы.
$x_B=- \frac{b}{2a} =- \frac{-8}{2} =4$
$y_B=4^2-8*4+7=16-32+7=-9$
2. $y= \frac{1}{4} x^2; y=5x-16$
Приравняем правые части. Если будет хотя бы одно решение, то парабола и прямая пересекаются в точке этого решения.
$\frac{1}{4} x^2=5x-16$
$\frac{1}{4} x^2-5x+16=0$
$D=25-4* \frac{1}{4} *16=25-16=9$
$x_1= \frac{5+3}{2* \frac{1}{4} }=16 ; x_2=\frac{5-3}{2* \frac{1}{4} } =4$
Так как уравнение имеет два действительных корня, то графики функций пересекаются в двух точках. Найдем координаты у1 и у2, подставив найденные значения х1 и х2 в любое из уравнений заданных функций.
$y_1= \frac{1}{4} *16^2=64; y_2= \frac{1}{4}*4^2=4$
Итак, парабола и прямая пересекаются в точках (16;64), (4;4).

Answer 3

Нахождение наименьшего значения квадратного трехчлена

Для нахождения наименьшего значения квадратного трехчлена вида х^2 - 8х + 7, можно воспользоваться методом завершения квадрата. Этот метод позволяет выразить выражение в квадратичной форме и определить его наименьшее значение.

Для начала, преобразуем исходное уравнение х^2 - 8х + 7:

х^2 - 8х + 7 = (х - 4)^2 - 16 + 7 = (х - 4)^2 - 9.

Таким образом, наименьшее значение квадратного трехчлена х^2 - 8х + 7 равно -9, и достигается при х = 4.

Определение пересечения параболы и прямой

Для определения пересечения параболы у = 1/4х^2 и прямой у = 5х - 16, можно приравнять их уравнения и решить полученное квадратное уравнение.

1/4х^2 = 5х - 16.

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

х^2 = 20х - 64.

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения и решим его, чтобы найти точки пересечения.

х^2 - 20х + 64 = 0.

Далее, решим это уравнение с помощью квадратного уравнения:

D = (-20)^2 - 4*1*64 = 400 - 256 = 144.

x1,2 = (20 ± √144) / 2 = (20 ± 12) / 2.

Таким образом, получаем две точки пересечения:

x1 = (20 + 12) / 2 = 16, x2 = (20 - 12) / 2 = 4.

Подставим найденные значения x в уравнения и найдем y:

для x1: y1 = 1/4 * 16^2 = 16, для x2: y2 = 1/4 * 4^2 = 1.

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой: (16, 16) и (4, 1).