Question

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=-2-x^2 и прямой y+3=0.

Answer 1

Найдем точки пересечения графиков, для этого решим систему:

y = -x^2-2

y = -3

-x^2 - 2 = -3   => x = +/-1

S = интеграл от -1 до 1 (-2-x^2+3)dx = x|(-1;1)  - x^3/3 |(-1;1)=  1+ 1 - (1/3 + 1/3) = 2 - 2/3 = 4/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = -2 - x^2 и прямой y = 3, вы можете воспользоваться методом интегрирования. Площадь под кривой y = -2 - x^2 между двумя точками x1 и x2 можно найти как разность между интегралом этой функции от x1 до x2 и интегралом прямой y = 3 на том же интервале.

Сначала найдем точки пересечения кривой и прямой. Для этого приравняем y значения функции и прямой:

-2 - x^2 = 3

Теперь решим это уравнение относительно x:

x^2 = -5

x = ±√5

Итак, у нас есть две точки пересечения: x1 = -√5 и x2 = √5.

Теперь найдем интеграл кривой и интеграл прямой на интервале [-√5, √5].

Интеграл функции y = -2 - x^2 на этом интервале:

∫[x1, x2] (-2 - x^2) dx = [-2x - (x^3/3)] | from x1 to x2

= [-2√5 - (√5^3/3)] - [-2(-√5) - ((-√5)^3/3)]

= [-2√5 - (5√5/3)] - [2√5 + (5√5/3)]

= (-2√5 - 5√5/3) - (2√5 + 5√5/3)

= (-2√5 - 5√5/3) - (6√5/3 + 5√5/3)

= -8√5/3 - 5√5/3

= -13√5/3

Теперь найдем интеграл прямой y = 3 на интервале [-√5, √5]:

∫[x1, x2] 3 dx = 3(x2 - x1)

= 3(√5 - (-√5))

= 3(√5 + √5)

= 6√5

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя графиками, вычитаем интеграл прямой из интеграла кривой:

Площадь = (-13√5/3) - (6√5) = -13√5/3 - 6√5

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -2 - x^2 и прямой y = 3 на интервале [-√5, √5], равна -13√5/3 - 6√5.