Question

Знайти часткові розв'язки ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами y''-2y'+y=0

Answer 1

Ответ:

ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

$\bf y''-2y'+y=0$  

Характеристическое уравнение   $\bf k^2-2k+1=0\ \ ,\ \ (k-1)^2=0\ \ ,$  

$\bf k_1=k_2=1\\\\\boxed{\ \bf y_{oo}=e^{x}\cdot (C_1+C_2x)\ }$  

Найдено общее решение ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Чтобы найти частное решение, надо было записать начальные условия .

Answer 2

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами:

y'' - 2y' + y = 0

Для пошуку часткових розв'язків можна використовувати метод спроб і помічників. Знайдемо загальний вираз для характеристичного рівняння (характеристичної лінійки) цього диференціального рівняння. Характеристичне рівняння має вигляд:

r^2 - 2r + 1 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння:

(r - 1)^2 = 0

r - 1 = 0

r = 1

Отже, характеристичне рівняння має подвійний корінь r = 1.

Загальний розв'язок для лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з подвійним коренем можна записати у вигляді:

y(t) = (C1 + C2t) * e^t

де C1 і C2 - довільні сталі.

Це є загальним розв'язком лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.