Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y = x ^ 2 + 4x, y = 6 - x ^ 2

Answer 1

Відповідь: фото

Пояснення:

розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома кривими, необхідно знайти точки їх перетину та побудувати відповідну площу між ними. У вашому випадку ми маємо дві криві:

1. y = x^2 + 4x
2. y = 6 - x^2

Спершу знайдемо точки їх перетину, тобто розв'яжемо рівняння:

x^2 + 4x = 6 - x^2

Для цього перенесемо всі члени на один бік:

x^2 + x^2 + 4x - 6 = 0

2x^2 + 4x - 6 = 0

Розділимо обидва боки на 2:

x^2 + 2x - 3 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Використаємо квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку a = 1, b = 2 і c = -3:

x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

Тепер знайдемо дві можливі значення x:

1. x1 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1
2. x2 = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Тепер знайдемо відповідні значення y, підставивши x1 і x2 у обидві рівняння:

Для x1 = 1: y1 = 1^2 + 4 * 1 = 1 + 4 = 5

Для x2 = -3: y2 = (-3)^2 + 4 * (-3) = 9 - 12 = -3

Таким чином, ми отримали дві точки перетину:

1. (1, 5)
2. (-3, -3)

Тепер можна побудувати графік цих двох кривих та знайти площу між ними. Площа цієї фігури буде рівна інтегралу від різниці кривих:

Площа = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

де a і b - точки перетину, f(x) - верхня крива (x^2 + 4x), g(x) - нижня крива (6 - x^2).

Площа = ∫[-3, 1] ((x^2 + 4x) - (6 - x^2)) dx

Тепер обчислимо цей інтеграл:

Площа = ∫[-3, 1] (x^2 + 4x - 6 + x^2) dx

Площа = ∫[-3, 1] (2x^2 + 4x - 6) dx

Площа = [2/3x^3 + 2x^2 - 6x] от -3 до 1

Площа = [(2/3 * 1^3 + 2 * 1^2 - 6 * 1) - (2/3 * (-3)^3 + 2 * (-3)^2 - 6 * (-3))]

Площа = [(2/3 + 2 - 6) - (-18/3 + 18 - 18)]

Площа = [(2/3 + 2 - 6) + (18/3 - 18 + 18)]

Площа = [(2/3 + 2 - 6) + (6 - 18 + 18)]

Площа = [(2/3 - 6) + (6 - 18 + 18)]

Площа = [(-16/3) + 6]

Площа = (-16/3 + 18/3)

Площа = 2/3

Отже, площа фігури обмеженої кривими y = x^2 + 4x і y = 6 - x^2 дорівнює 2/3 квадратних одиниць.