Question

Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение: (n^3+35n) кратно 6

Answer 1

N^3+35n = n(n^2+35)=n(n^2-1+36)=n(n^2-1)+36n=(n-1)n(n+1)+36n.
1) 36n кратно 6 при любых натуральных n
2) (n-1)n(n+1) - произведение трех последовательных целых чисел. Следовательно, какая-нибудь из скобок будет делиться на 3 и какая-нибудь будет делиться на 2. Так как 2 и 3 взаимно простые числа, то все произведение будет делиться на 2*3=6.
Так как каждое из слагаемых кратно 6, то и их сумма кратна 6, ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы можем воспользоваться методом математической индукции. Мы должны показать, что если утверждение верно для некоторого натурального числа n, то оно также верно для n+1.

1. Базовый случай (n = 1): Для n = 1, мы имеем: (1^3 + 35 * 1) = (1 + 35) = 36. 36 делится на 6 без остатка, поскольку 36 = 6 * 6. Таким образом, базовый случай верен.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть (k^3 + 35k) кратно 6.

3. Индукционный шаг: Мы должны показать, что утверждение также верно для k + 1.

   Рассмотрим выражение для (k+1)^3 + 35(k+1): (k+1)^3 + 35(k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 35k + 35)

   Теперь мы можем воспользоваться предположением индукции: (k^3 + 35k) делится на 6 без остатка.

   Теперь добавим оставшиеся члены: (3k^2 + 3k + 1 + 35)

   Заметим, что каждый из членов 3k^2, 3k и 1 делится на 3 без остатка, и 35 также делится на 6 без остатка.

   Поэтому (3k^2 + 3k + 1 + 35) делится на 3 без остатка и на 6 без остатка.

   Теперь мы видим, что каждый член в выражении (k+1)^3 + 35(k+1) делится на 6 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для натурального числа k, то оно также верно для k+1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n, включая их.