Question

Мат.индукция: 1.Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (19^n-1) делится на 18.2.Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (6 (в степени 2n+1)  +1) делится на 7

Answer 1

Доказательство по математической индукции:

1. Докажем, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (19^n - 1) делится на 18.

База индукции: При n = 1 утверждение принимает вид (19^1 - 1) = 18, что является кратным 18.

Предположение индукции: Пусть для некоторого k, где k ≥ 1, утверждение выполняется, т.е. (19^k - 1) делится на 18.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1.

Рассмотрим выражение (19^(k+1) - 1). Мы можем представить его в виде (19^k * 19 - 1).

Заметим, что 19^k делится на 18 в соответствии с предположением индукции. Также заметим, что (19 - 1) = 18, что делится на 18.

Теперь мы можем записать (19^(k+1) - 1) как (18 * 19^k + 18 - 1), что равносильно (18 * 19^k + 17).

Здесь мы видим, что первое слагаемое 18 * 19^k является кратным 18, а второе слагаемое 17 не влияет на кратность 18.

Таким образом, (19^(k+1) - 1) также делится на 18.

Итак, по принципу математической индукции, утверждение (19^n - 1) делится на 18 для любого натурального значения n.

2. Докажем, что для любого натурального значения n справедливо утверждение (6^(2n+1) + 1) делится на 7.

База индукции: При n = 1 утверждение принимает вид (6^(2*1+1) + 1) = (6^3 + 1) = 217, что является кратным 7.

Предположение индукции: Пусть для некоторого k, где k ≥ 1, утверждение выполняется, т.е. (6^(2k+1) + 1) делится на 7.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1.

Рассмотрим выражение (6^(2(k+1)+1) + 1). Мы можем представить его в виде (6^(2k+3) + 1).

Заметим, что 6^(2k+1) делится на 7 в соответствии с предположением индукции. Также заметим, что (6^2 - 1) = 35, что делится на 7.

Теперь мы можем записать (6^(2(k+1)+1) + 1) как (6^(2k+1) * 6^2 + 1), что равносильно (7 * 6^(2k+1) + 35 + 1).

Здесь мы видим, что первое слагаемое 7 * 6^(2k+1) является кратным 7, а второе слагаемое 35 + 1 также является кратным 7.

Таким образом, (6^(2(k+1)+1) + 1) также делится на 7.

Итак, по принципу математической индукции, утверждение (6^(2n+1) + 1) делится на 7 для любого натурального значения n.