Question

Вычислить производную функции. а) f(x)=3x(x³+5)б) f(x)=x²/x⁴+1в) f(x)=2x^5-4x³+6x²-11г) f(x)=(x³+3)^7

Answer 1

A)f'(x)=(3x)'(x^3+5)+(x^3+5)'•3x=
3x^3+15+9x^3=12x^3+15
2)f'(x)=(x^2/(x^4+1))'=((x^2)'(x^4+1)-((x^4+1)'x^2):
(x^4+1)^2=
(2x^5+2x-4x^5)/((x^4+1)^2)=(2x-2x^5)/(x^4+1)^2
3)f'(x)=10x^4-12x^2+12x
4)f'(x)=((x^3+3)^7)'=7(x^3+3)^6*(x^3+3)'=
21(x^3+3)^6*x^2

Answer 2

Давайте по очереди найдем производные данных функций.

а) $f(x) = 3x(x^3 + 5)$

Используем правило производной произведения:

$f'(x) = 3x \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 5) + (x^3 + 5) \cdot \frac{d}{dx}(3x)$

$f'(x) = 3x \cdot 3x^2 + (x^3 + 5) \cdot 3$

$f'(x) = 9x^2 + 3x^3 + 15$

б) $f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1}$

Используем правило деления:

$f'(x) = \frac{x^4 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) - x^2 \cdot \frac{d}{dx}(x^4 + 1)}{(x^4 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x^4 \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^5 - 4x^5}{(x^4 + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-2x^5}{(x^4 + 1)^2}$

в) $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 6x^2 - 11$

Используем стандартные правила дифференцирования:

$f'(x) = 10x^4 - 12x^2 + 12x$

г) $f(x) = (x^3 + 3)^7$

Используем правило цепочки (chain rule):

$f'(x) = 7 \cdot (x^3 + 3)^6 \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 3)$

$f'(x) = 7 \cdot (x^3 + 3)^6 \cdot 3x^2$

$f'(x) = 21x^2 \cdot (x^3 + 3)^6$

Это производные данных функций. Надеюсь, это помогло! Если у вас есть ещё какие-то вопросы, пожалуйста, дайте знать.