Question

Решить неравенство 3^{x^{2}} \cdot 5^{x-1}\geq 3

Answer 1

$3^{x^{2}} * 5^{x-1}\geq 3$
прологарифмируем обе части по основанию 3
$3^{x^{2}} * 5^{x-1}\geq 3 \\\log_3(3^{x^{2}} * 5^{x-1})\geq\log_3 3 \\\log_3(3^{x^{2}})+\log_3(5^{x-1})\geq 1 \\x^2+(x-1)*\log_3 5\geq 1 \\x^2+(x-1)*\log_3 5-1\geq 0 \\x^2+x\log_3 5-\log_3 5- 1\geq 0 \\D=(\log_3 5)^2+4(\log_3 5+1)=(\log_3 5)^2+4\log_3 5+4=(\log_3 5+2)^2 \\x_1= \frac{-\log_3 5+\log_3 5 +2}{2} =1 \\x_2= \frac{-\log_3 5-\log_3 5 -2}{2} = \frac{-2\log_3 5-2}{2} =-\log_3 5-1=-\log_3 15$
также  $-\log_3 15\ \textless \ 1$
 используем метод интервалов
   +          -           +
-------[]------------[]--------->
  -log3(15)       1

$x\in(-\infty;-\log_3 15]\cup[1;+\infty)$
Ответ: $x\in(-\infty;-\log_3 15]\cup[1;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с преобразования выражения.

Начнем с упрощения левой стороны неравенства, используя свойства степеней:

$3^{x^{2}} \cdot 5^{x-1} \geq 3$

Теперь преобразуем $3$ в виде $3^{1}$ и выразим обе стороны неравенства с использованием общего основания (в данном случае $3$):

$3^{x^{2}} \cdot 3^{1(x-1)} \geq 3^{1}$

Используем свойство степени степени, чтобы перемножить степени с одинаковым основанием:

$3^{x^{2} + x - 1} \geq 3^{1}$

Теперь, так как основания одинаковы, экспоненты должны быть равными:

$x^{2} + x - 1 \geq 1$

Теперь переносим $1$ налево:

$x^{2} + x - 2 \geq 0$

Факторизуем это квадратное уравнение:

$(x + 2)(x - 1) \geq 0$

Таким образом, у нас есть два корня уравнения: $x = -2$ и $x = 1$.

Теперь определим знак выражения $(x + 2)(x - 1)$ в каждом из интервалов, определенных корнями (-∞, -2), (-2, 1) и (1, +∞):

1. При $x < -2$, оба множителя отрицательны, поэтому выражение положительно.
2. При $-2 < x < 1$, первый множитель отрицателен, второй положителен, поэтому выражение отрицательно.
3. При $x > 1$, оба множителя положительны, поэтому выражение положительно.

Таким образом, неравенство $x^{2} + x - 2 \geq 0$ выполняется в интервалах $[-2, 1]$ и $[1, +\infty)$. В этих интервалах неравенство $3^{x^{2}} \cdot 5^{x-1} \geq 3$ также выполняется.