Question

Пожалуйста,это очень срочно 1)Решите логарифмическое уравнение 1/2lg(3x+1)=lg(x-1)+lg1 2)Решите показательное уравнение 25^x-6*5^x=-5

Answer 1

1)  $\frac{1}{2} lg(3x + 1) = lg(x - 1) + lg1$
Условие существования логарифма: 3x + 1 > 0 ⇒ x > $- \frac{1}{3}$, x > 1 ⇒ x > 1. 
По свойству логарифма: logₐb - logₐc = logₐ $\frac{b}{c}$ при условии существования логарифмов. В нашем случае это тоже работает: данные логарифмы десятичные, значит, в основании 10. Вспомним, что  $n * log_{a}b = log_{a}b^n$ (также при условии существования логарифма). Сразу вычислим lg1 - чтобы получить из 10 1, нужно 10 возвести в нулевую степень, значит, что 0. Тогда наше уравнение равносильно такому: 
$lg(3x + 1)^{0.5} = lg(x - 1)$
Т.к. логарифмическая функция каждое свое значение принимает единожды, 
$(3x + 1)^{0.5} = x - 1$
Мы уже ставили условие, что x - 1 > 0, тогда 
3x + 1 = (x - 1)²
3x + 1 = x² - 2x + 1
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0 
x = 0 или x = 5. 
Вспоминаем, что x > 1, и получаем x = 5. 

Ответ: 5. 

2) 25ˣ - 6 * 5ˣ = -5
Знаем, что 25 = 5², значит, уравнение принимает такой вид: 
(5²)ˣ - 6 * 5ˣ = -5
По свойству дробей (5²)ˣ раскрывается, как 5²ˣ, и можем представить в виде (5ˣ)², значит, 
(5ˣ)² - 6 * 5ˣ = -5
Пусть t = 5ˣ, тогда 
t² - 6t + 5 = 0
t = 1 или t = 5. 
Обратная замена: 
5ˣ = 1 или 5ˣ = 5, т. е. x = 0 или x = 1. 

Ответ: 0; 1. 

Answer 2

Конечно, я помогу вам с решением данных уравнений.

1. Логарифмическое уравнение: $\frac{1}{2} \log(3x+1) = \log(x-1) + \log(1)$

Используем свойства логарифмов: $\frac{1}{2} \log(3x+1) = \log((x-1) \times 1)$ $\frac{1}{2} \log(3x+1) = \log(x-1)$

Теперь избавимся от логарифмов, используя определение логарифма: $\log(3x+1)^{\frac{1}{2}} = \log(x-1)$

Теперь избавимся от логарифмов: $(3x+1)^{\frac{1}{2}} = x - 1$

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат: $(3x+1) = (x-1)^2$

Раскроем квадрат: $3x + 1 = x^2 - 2x + 1$

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду: $x^2 - 5x = 0$

Теперь факторизуем: $x(x - 5) = 0$

Таким образом, у нас два возможных значения x: $x_1 = 0$ $x_2 = 5$

2. Показательное уравнение: $25^x - 6 \times 5^x = -5$

Мы видим, что 25 = $5^2$, поэтому заменим 25 на $5^2$: $(5^2)^x - 6 \times 5^x = -5$

Используем свойства показателей степени: $5^{2x} - 6 \times 5^x = -5$

Теперь преобразуем уравнение, считая $5^x$ общим множителем: $5^x (5^x - 6) = -5$

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: $(5^x)^2 - 6 \times 5^x + 5 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $5^x$. Обозначим $5^x$ как t: $t^2 - 6t + 5 = 0$

Теперь решим квадратное уравнение: $t = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1}$ $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$ $t = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$ $t_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$ $t_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$

Теперь возвращаемся к переменной $x$, используя $t = 5^x$ и $t = 1$: $5^x = 5$ $x = 1$

и

$5^x = 1$ $x = 0$