Question

А)Решите уравнение 7^2cosx=49^sin2x Б)Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку (п;5п/2)

Answer 1

а) $cosx=sin2x$

$2sinxcosx-cosx=0$

$cosx(2sinx-1)=0$

$cosx=0$ или $sinx=\frac{1}{2}$

$x=\pm \frac{\pi}{2}+\pi k$ или $x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$

б) $\frac{3\pi}{2};\frac{13\pi}{6}$

Answer 2

Для решения уравнения 7^2cos(x) = 49^sin(2x), мы можем воспользоваться свойствами степеней и логарифмов. Давайте начнем с раскрытия 7^2 и 49^sin(2x):

7^2 = 49 49^sin(2x) = (7^2)^sin(2x) = 7^(2*sin(2x))

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

7^2cos(x) = 7^(2*sin(2x))

Мы видим, что обе стороны уравнения имеют одну и ту же основу (7), поэтому мы можем приравнять показатели степени:

2cos(x) = 2*sin(2x)

Теперь давайте разделим обе стороны на 2:

cos(x) = sin(2x)

Теперь нам нужно решить это уравнение на интервале (π; 5π/2).

Для начала давайте перепишем sin(2x) в виде 2*sin(x)*cos(x), так как мы знаем, что cos(x) = sin(π/2 - x):

cos(x) = 2*sin(x)*cos(x)

Теперь можем поделить обе стороны на cos(x), предполагая, что cos(x) не равно нулю:

1 = 2*sin(x)

Теперь делим обе стороны на 2:

sin(x) = 1/2

Для нахождения всех корней на интервале (π; 5π/2), мы можем воспользоваться знанием о значениях синуса на четвертях круга:

1. В первой четверти (π/2; π), sin(x) положителен, и sin(x) = 1/2 при x = π/6.
2. Во второй четверти (π; 3π/2), sin(x) отрицателен, и sin(x) = 1/2 при x = 5π/6.

Итак, уравнение 7^2cos(x) = 49^sin(2x) имеет два корня на интервале (π; 5π/2): x = π/6 и x = 5π/6.