Question

Найти точки экстремумов функции f(x)=x³/3+x²/2-6x+1.

Answer 1

Для того чтобы найти экстремумы надо найти производную из функции f(x) и приравнивать его к нулю.

f'(x)=x^2+x-6=0

Находим точки экстремума с производной функции f'(x)

x1=-2 x2=3

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x + 1$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную $f'(x)$ функции $f(x)$.
2. Решите уравнение $f'(x) = 0$ для поиска критических точек.
3. Используйте вторую производную $f''(x)$ для определения характера экстремумов в найденных критических точках.

Теперь давайте выполнять эти шаги поочередно.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x + 1\right)$

Чтобы найти производную, мы можем использовать правила дифференцирования степеней $x$ и констант: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 6$ $f'(x) = x^2 + x - 6$

2. Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного корня: $(x + 3)(x - 2) = 0$

Из этого уравнения получаем два значения $x$: $x_1 = -3$ $x_2 = 2$

3. Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$, чтобы определить характер экстремумов в этих критических точках: $f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}\left(x^2 + x - 6\right)$

Производная второго порядка равна 2 для всех значений $x$, так что у нас нет необходимости в дополнительных расчетах.

Теперь давайте анализируем результаты:

• Критическая точка $x_1 = -3$: Вторая производная положительна ($f''(-3) = 2$), что означает, что это точка минимума.
• Критическая точка $x_2 = 2$: Вторая производная также положительна ($f''(2) = 2$), что указывает на точку минимума.

Таким образом, у функции $f(x)$ есть две точки экстремума: одна точка минимума при $x = -3$ и другая точка минимума при $x = 2$.