Question

Дана функция у = - х2+2х+8. Найти: 1) область определения функции; 2) точки пересечения функции у = f(x) с осью ОХ; 3) исследовать функцию на четность, нечетность, 4)интервалы монотонности; 5) точки экстремумов; 6) построить график функции; 7) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком у = f(x), осью ОХ и прямыми х=1 и х=5.

Answer 1

Функция $y(x) = -x^2 + 2x + 8$

 

1) Очень дико видеть "область определения", потому что это то, что задаёт математик. Область существования вещественных прообразов называть "область определения" — дичь! Так вот, область существования аргумента здесь — всё множество действительных чисел ("вся числовая прямая").

 

2) Пересечение с осью аргументов означает равенство $y = 0$. То есть требуется решить уравнение $-x^2 + 2x + 8 = 0$. Это алгебраическое уравнение второго порядка. Два его корня суть 6 и -2.

 

3) Чётность/нечётность $(x - 6)(x + 2) = 0$ относительно оси значений (x = 0)? Нет, не обладает свойствами ни чётности, ни нечётности.

 

4) Тут меня раза три остановили, когда я стал исследовать на экстремумы через производную. Если исследовать всё-таки через производные, то

 

$\frac{d}{dx} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2x + 2$

 

Точки экстремума: $-2x + 2 =0 \Leftrightarrow x = 1$ 0[/tex]

 

Вторая производная: $\frac{d^2}{dx^2} \cdot \left(-x^2 + 2x + 8\right) = -2$ => выпуклость вверх для любого значения агрумента (прообраза) => точки экстремума — максимумы.

 

Функция монотонно возрастает при x < 1 и монотонно убывает при x > 1.

 

5) Точки экстремумов были найдены выше.

 

6) Рисунок 1 в аттаче.

 

7) Они хотят интеграл? Ого. Не, это только завтра.

Answer 2

1) Область определения функции:

Для определения области определения функции, нужно найти все значения x, при которых функция определена. В данном случае, функция у = -х^2 + 2х + 8 является квадратичной функцией, и она определена для любого значения x в действительных числах. То есть, область определения функции у = -х^2 + 2х + 8 равна всему множеству действительных чисел R.

2) Точки пересечения функции у = f(x) с осью ОХ:

Чтобы найти точки пересечения функции у = f(x) с осью ОХ, нужно найти значения x, при которых у = f(x) равно нулю. Для этого, решим уравнение -х^2 + 2х + 8 = 0.

Решая это уравнение, получаем два значения x: x = -2 и x = 4. Таким образом, функция у = f(x) пересекает ось ОХ в точках (-2, 0) и (4, 0).

3) Исследование функции на четность и нечетность:

Для исследования функции на четность и нечетность, нужно проверить, выполняется ли свойство f(-x) = f(x) для всех x в области определения функции.

В данном случае, функция у = -х^2 + 2х + 8 является квадратичной функцией с отрицательным коэффициентом при x^2. Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Интервалы монотонности:

Чтобы найти интервалы монотонности функции, нужно найти значения x, при которых функция у = f(x) возрастает или убывает.

Для этого, найдем производную функции у = -х^2 + 2х + 8. Производная функции равна -2х + 2.

Чтобы найти интервалы монотонности, нужно решить неравенство -2х + 2 > 0.

Решая это неравенство, получаем x < 1. Таким образом, функция у = f(x) убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞).

5) Точки экстремумов:

Чтобы найти точки экстремумов функции, нужно найти значения x, при которых производная функции у = f(x) равна нулю или не существует.

В данном случае, производная функции у = -х^2 + 2х + 8 равна -2х + 2. Чтобы найти точки экстремумов, решим уравнение -2х + 2 = 0.

Решая это уравнение, получаем x = 1. Таким образом, функция у = f(x) имеет точку экстремума при x = 1.

6) Построение графика функции:


7) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком у = f(x), осью ОХ и прямыми x = 1 и x = 5:

Для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком у = f(x), осью ОХ и прямыми x = 1 и x = 5, нужно вычислить интеграл от функции у = f(x) на интервале от x = 1 до x = 5.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле: S = ∫[a,b] f(x) dx, где a = 1 и b = 5.

Вычисляя данный интеграл, получаем площадь криволинейной трапеции.