Question

Найдите координаты вершины параболы, если известно, что эта парабола проходит через точки A(5;2), B(7;1) и C(-3;3).

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{2}{3} \\\\y_{0}=3\frac{49}{240}$

Объяснение:

Общий вид уравнения параболы с неизвестными коэффициентами:

$\tt \displaystyle y=a \cdot x^{2} +b \cdot x+c,$

для которой координаты вершины определяется по формулам

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{b}{2 \cdot a}, \; y_{0}=a \cdot x_{0}^{2} +b \cdot x_{0}+c.$

Так как парабола проходит через точки A(5; 2), B(7; 1) и C(-3; 3), подставляя координаты точек в общий вид уравнения и находим неизвестные коэффициенты из системы уравнений.

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}2=a \cdot 5^{2} +b \cdot 5+c\\1=a \cdot 7^{2} +b \cdot 7+c\\3=a \cdot (-3)^{2} +b \cdot (-3)+c\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}25 \cdot a +5 \cdot b+c=2\\49 \cdot a + 7 \cdot b+c=1\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right$

Вычтем третье уравнение из первого и второго, потом первое уравнение умножим на 5, а второе уравнение умножим на 2:

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}16 \cdot a +8 \cdot b=-1\\40 \cdot a + 10 \cdot b=-2\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}80 \cdot a +40 \cdot b=-5\\80 \cdot a + 20 \cdot b=-4\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}20 \cdot b=-1\\80 \cdot a + 20 \cdot b=-4\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-4- 20 \cdot (-0,05)\\c=3-9 \cdot a +3 \cdot (-0,05) \end{array}\right \Leftrightarrow$

$\tt \displaystyle \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-4+1\\c=3-9 \cdot a -0,15 \end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-3\\c=2,85-9 \cdot a \end{array}\right \Leftrightarrow$

$\tt \displaystyle \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\a =-0,0375\\c=2,85-9 \cdot (-0,0375) =3,1875 \end{array}\right$

Тогда уравнения параболы имеет вид:

$\tt \displaystyle y=-0,0375 \cdot x^{2} -0,05 \cdot x+3,1875.$

Находим координаты вершины параболы:

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{-0,05}{2 \cdot (-0,0375)}=-\frac{0,05}{0,075}=-\frac{2}{3} \\\\y_{0}=-0,0375 \cdot (-\frac{2}{3})^{2} -0,05 \cdot (-\frac{2}{3})+3,1875=\\\\=-0,0375 \cdot \frac{4}{9} +\frac{0,1}{3}+\frac{51}{16} =\frac{0,05}{3}+\frac{51}{16}=\\\\=\frac{1}{60}+\frac{51}{16}=\frac{4}{240}+\frac{765}{240}=\frac{769}{240}=3\frac{49}{240}$

Answer 2

Для нахождения координат вершины параболы, через которую проходят точки A(5;2), B(7;1) и C(-3;3), мы можем использовать общий вид уравнения параболы:

y = ax^2 + bx + c

Также мы знаем, что вершина параболы имеет координаты (-b/2a, f(-b/2a)), где f(x) - это функция, заданная уравнением параболы.

Давайте используем точку A(5;2) для нахождения a, b и c:

2 = a(5^2) + b(5) + c 2 = 25a + 5b + c

Теперь используем точку B(7;1):

1 = a(7^2) + b(7) + c 1 = 49a + 7b + c

И наконец, используем точку C(-3;3):

3 = a((-3)^2) + b(-3) + c 3 = 9a - 3b + c

У нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными a, b и c:

1. 2 = 25a + 5b + c
2. 1 = 49a + 7b + c
3. 3 = 9a - 3b + c

Мы можем решить эту систему уравнений. Начнем с выразить c из уравнения 3:

c = 3 - 9a + 3b

Теперь подставим это значение c в уравнения 1 и 2:

1. 2 = 25a + 5b + (3 - 9a + 3b)
2. 1 = 49a + 7b + (3 - 9a + 3b)

Упростим эти уравнения:

1. 2 = 16a + 8b + 3
2. 1 = 40a + 10b + 3

Теперь выразим a и b из этих уравнений:

1. 16a + 8b = -1
2. 40a + 10b = -2

Теперь выразим b из первого уравнения:

8b = -1 - 16a b = (-1 - 16a)/8 b = (-1/8) - (2a)

Теперь подставим это значение b во второе уравнение:

40a + 10((-1/8) - (2a)) = -2

Упростим:

40a - (5/4) - 20a = -2

Теперь объединим подобные члены:

(40a - 20a) - (5/4) = -2

20a - (5/4) = -2

20a = -2 + (5/4)

20a = (-8/4) + (5/4)

20a = -3/4

Теперь найдем a:

a = (-3/4) / 20 a = -(3/4) * (1/20) a = -(3/80)

Теперь у нас есть значение a, и мы можем найти b, используя выражение для b, которое мы получили ранее:

b = (-1/8) - 2a b = (-1/8) - 2 * (-3/80)

Упростим:

b = (-1/8) + (3/40)

Теперь найдем b:

b = (-5/40) + (3/40) b = -2/40 b = -1/20

Теперь, когда у нас есть значения a и b, мы можем найти c, используя одно из исходных уравнений, например, уравнение 1:

2 = 25a + 5b + c 2 = 25(-3/80) + 5(-1/20) + c

Упростим:

2 = (-3/16) - (1/4) + c

Теперь найдем c:

2 = (-3/16) - (4/16) + c

2 = (-7/16) + c

Теперь найдем c:

c = 2 + (7/16)

c = (32/16) + (7/16)

c = 39/16

Итак, у нас есть значения a, b и c:

a = -3/80 b = -1/20 c = 39/16

Теперь мы можем найти координаты вершины параболы (-b/2a, f(-b/2a)):

x_vertex = -(-1/20) / (2 * (-3/80)) x_vertex = (1/20) / (6/80) x_vertex = (1/20) / (6/80) = (1/20) * (80/6) = 4/6 = 2/3

Теперь найдем y_vertex, используя значение x_vertex:

y_vertex = (-3/80)(2/3)^2 - (1/20)(2/3) + 39/16

y_vertex = (-3/80)(4/9) - (1/20)(2/3) + 39/16

y_vertex = (-12/720) - (8/60) + 39/16

y_vertex = (-1/60) - (8/60) + 39/16

y_vertex = (-9/60) + 39/16

y_vertex = (-3/20) + (117/16)

Теперь найдем общий знаменатель и сложим:

y_vertex = (-24/80) + (585/80) = (585 - 24)/80 = 561/80

Итак, координаты вершины параболы: (2/3, 561/80).