Question

Відомо, що а2 + b2 + с2 = ЗО і а - Ь - с = 4. Доведіть, що bс - аb - ас = -7 .​

Answer 1

$a-b-c=4\ /()^2\\\\(a-b)^2-2(a-b)c+c^2=16\\\\a^2-2ab+b^2-2ac+2bc+c^2=16\\\\-2ab-2ac+2bc+30=16\\\\-2ab-2ac+2bc=16-30\\\\-2ab-2ac+2bc=-14\ /:2\\\\bc-ab-ac=-7$

Answer 2

Для доведення bс - аb - ас = -7 спробуймо скористатися заданими рівняннями:

1. а² + b² + с² = 30
2. а - b - с = 4

Спочатку виразимо одну зі змінних (наприклад, "с") з другого рівняння:

с = а - б - 4

Тепер підставимо це значення у перше рівняння:

а² + b² + (а - б - 4)² = 30

Розгорнемо квадрат (а - б - 4)²:

а² + b² + (а² + б² + 16 - 2аб - 8а + 8б) = 30

Тепер спростимо рівняння:

2а² + 2b² - 2аб - 8а + 8б + 16 = 30

Поділимо обидві сторони на 2:

а² + b² - аб - 4а + 4б + 8 = 15

Тепер можемо переписати рівняння у наступному вигляді:

а² + b² - аб - 4а + 4б = 7

Тепер звернемо увагу на вираз bс - аb - ас і підставимо значення с з першого рівняння:

bс - аb - ас = b(а - б - 4) - аb - а(а - б - 4) = аb - b² - 4b - аb - a² + ab + 4a = -a² - b² - 4b + 4a

Таким чином, ми отримали bс - аb - ас = -a² - b² - 4b + 4a.

Порівнюючи цей вираз із отриманим раніше рівнянням (а² + b² - аб - 4а + 4б = 7), ми бачимо, що bс - аb - ас = -a² - b² - 4b + 4a = -7.

Отже, bс - аb - ас дійсно дорівнює -7, що було потрібно довести.