Question

Найти промежуток возрастания и убывания функции у=1/3х^3-1/2х^2+6​

Answer 1

$f(x) = \frac{1}{3} {x}^{3} - \frac{1}{2} {x}^{2} + 6$

ее производная равна

$f(x) = {x}^{2} - x = x(x - 1)$

приравняем к нулю. тогда корни будут

х1=0

x2=1

тогда от минус бесконечности до 0 функция возрастает

от 0 до 1 убывает

от 1 до плюс бесконечности возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6$, мы сначала найдем её производную и затем проанализируем знак этой производной.

1. Найдем производную функции $y$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6\right).$

Вычислим производную каждого члена по отдельности: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{d}{dx}(6).$

2. Теперь найдем производные каждого члена: $y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = x^2 - x.$

Теперь мы имеем производную функции $y$: $y' = x^2 - x$.

3. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, мы должны решить неравенство $y' > 0$ для возрастания и $y' < 0$ для убывания.

Для $y' > 0$: $x^2 - x > 0.$

Это неравенство можно решить с помощью факторизации:

$x(x - 1) > 0.$

Теперь определим знак выражения на интервалах, разделенных точками $x = 0$ и $x = 1$.

1. Если $x < 0$, то оба множителя отрицательны, и произведение положительно.
2. Если $0 < x < 1$, то первый множитель положителен, а второй отрицателен, и произведение отрицательно.
3. Если $x > 1$, то оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, функция $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6$ возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Для $y' < 0$: $x^2 - x < 0.$

Снова определим знак выражения на интервалах, разделенных точками $x = 0$ и $x = 1$.

1. Если $x < 0$, то оба множителя отрицательны, и произведение положительно.
2. Если $0 < x < 1$, то первый множитель положителен, а второй отрицателен, и произведение отрицательно.
3. Если $x > 1$, то оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, функция $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6$ также убывает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Итак, промежутки возрастания функции на всей числовой прямой $(-\infty, \infty)$, а промежутки убывания отсутствуют.