Question

15б! Алгебра Найдите все значения параметра a , При которых уравнение ( a + 1 ) x^2 + ( 2 a - 3 ) x + a - 3 = 0   имеет единственный корень.

Answer 1

Если $a+1=0$ откуда $a=-1$, то квадратное уравнение примет следующий вид:

$-5x-4=0\\ x=-0.8$

Имеет единственный корень x = -0.8.

Теперь пусть $a+1\ne 0$, тогда найдем дискриминант квадратного уравнения

$D=(2a-3)^2-4\cdot (a+1)(a-3)=4a^2-12a+9-4(a^2-2a-3)=\\ \\ =4a^2-12a+9-4a^2+8a+12=-4a+21$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю, т.е.

$-4a+21=0\\4a=21\\ a=5.25$

Ответ: при a = -1 и a = 5.25 квадратное уравнение имеет единственный корень.

Answer 2

Чтобы уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В данном случае у нас уравнение:

$(a + 1)x^2 + (2a - 3)x + (a - 3) = 0$

Сопоставляя с общей формулой $ax^2 + bx + c = 0$, получаем: $a + 1 = a$, $2a - 3 = 0$ и $a - 3 = 0$.

Решим систему уравнений:

1. $a + 1 = a$ => $1 = 0$ (это невозможно, так что дальше не идем).

2. $2a - 3 = 0$ => $2a = 3$ => $a = \frac{3}{2}$.

3. $a - 3 = 0$ => $a = 3$.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при $a = \frac{3}{2}$ и $a = 3$.