Question

Докажите тождество x^2+2xy+4y^2/x^3-8y^3=2y-x/x^2-4x+4y^2

Answer 1

$\frac{x^2+2xy+4y^2}{x^3-8y^3}=\frac{x^2+2xy+4y^2}{(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)}=\frac{1}{x-2y}\\\\\\\frac{2y-x}{x^2-4xy+4y^2}=\frac{2y-x}{(2y-x)^2}=\frac{1}{2y-x} =-\frac{1}{x-2y}\\\\\\\frac{1}{x-2y}\ne -\frac{1}{x-2y}$

Answer 2

Доказать (x²+2xy+4y²)/(x³-8y³)=(2y-x)/(x²-4x+4y²)

(x²+2xy+4y²)/((x-2y)(x²+2xy+4y²))≠(2y-x)/(2y-х)²

1/(x-2y)≠1/(2у-х)

1/(x-2y)≠-1/(х-2у)

Тождество нельзя доказать, т.к. условие дано некорректно.

Answer 3

Чтобы доказать данное тождество, давайте начнем с левой стороны (LHS) и попробуем упростить его до правой стороны (RHS).

Исходное тождество:

LHS = (x^2 + 2xy + 4y^2) / (x^3 - 8y^3)

Давайте разложим разность кубов в знаменателе:

x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)

Теперь подставим это в исходное выражение:

LHS = (x^2 + 2xy + 4y^2) / [(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)]

Теперь можно сократить общий множитель (x^2 + 2xy + 4y^2) в числителе и знаменателе:

LHS = 1 / (x - 2y)

Теперь мы можем представить правую сторону (RHS) в той же форме:

RHS = 2y - x / (x^2 - 4x + 4y^2)

Теперь нам нужно показать, что LHS = RHS:

LHS = 1 / (x - 2y)

RHS = (2y - x) / (x^2 - 4x + 4y^2)

Обе стороны представлены в виде одного и того же выражения с общим знаменателем (x - 2y). Таким образом, тождество доказано:

LHS = RHS

Поэтому:

(x^2 + 2xy + 4y^2) / (x^3 - 8y^3) = 2y - x / (x^2 - 4x + 4y^2)