Question

Решите уравнение 5sin^2x+13sinx+6=0

Answer 1

Відповідь:

Замена sinx = t, -1<t<1

5*t^2 +13*t + 6=0

t = -2

t= -3/5

Вернемся к замене

sinx = -2 (посторонний)               sinx = -3/5

sinx = -3/5

x = +- arcsin(3/5) + 2πk, k ∈ Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте воспользуемся заменой переменной. Обозначим sin(x) как y. Тогда уравнение примет вид:

5y^2 + 13y + 6 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = b^2 - 4ac

где a = 5, b = 13, и c = 6. Подставим эти значения:

D = 13^2 - 4 * 5 * 6 = 169 - 120 = 49

Теперь мы можем найти два значения y с помощью квадратного корня:

y1 = (-b + √D) / (2a) y2 = (-b - √D) / (2a)

y1 = (-13 + √49) / (2 * 5) = (-13 + 7) / 10 = -6/10 = -3/5 y2 = (-13 - √49) / (2 * 5) = (-13 - 7) / 10 = -20/10 = -2

Теперь у нас есть два значения y, которые соответствуют sin(x). Чтобы найти значения x, мы используем обратную функцию arcsin:

x1 = arcsin(y1) x2 = arcsin(y2)

x1 = arcsin(-3/5) x2 = arcsin(-2)

Значения arcsin могут находиться в диапазоне от -π/2 до π/2. Поэтому, чтобы получить все возможные решения, давайте учтем области, в которых y1 и y2 находятся в этом диапазоне.

Для y1: x1 = arcsin(-3/5) ≈ -0.6435 (в пределах от -π/2 до π/2)

Для y2: x2 = arcsin(-2) - не имеет реальных решений, так как sin(x) всегда находится в диапазоне от -1 до 1.

Таким образом, уравнение 5sin^2(x) + 13sin(x) + 6 = 0 имеет единственное реальное решение:

x1 ≈ -0.6435 (в радианах)