Question

1. (1 б.) Розв’язати неповні квадратні рівняння: х2 = 169; х2 = 7; х2 = -10; 5х2 + 3х = 0; -6х2 + 7 = 1; -4х2 - 8 = 0. 2. (1 б.) Розв’язати повні квадратні рівняння: х2 - 12х + 36 = 0; х2 + 7х + 6 = 0; -8х2 + 6х - 10 = 0. 3. (1 б.) Записати суму коренів та добуток коренів квадратного рівняння: -5х2 + 19х - 14 = 0. 4. (1 б.) Розкласти на множники квадратні тричлени: х2 + 6х + 5; 8х2 + 40х + 50; - 4х2 - 4х + 8. 5. (1 б.) Розв’язати рівняння: (- 7х + 4)(- 7х – 5) + 5х = - 20; (-8х + 2)(-8х – 2) + 9х = - 4. 6. (1 б.) Знайти суму коренів рівняння: (- х + 4):(- х – 8) = (х + 5):(- х – 10). 7. (2 б.) Скласти три різні квадратні рівняння, у кожного з яких будуть такі корені: - 1,5 та 2,7. 8. (2 б.) Сума двох чисел рівна 50, а їх добуток рівний 400. Знайти ці числа. 9. (2 б.) Розв’язати рівняння: (х2 + 7х)2 + 14(х2 + 6х) + 49 = 0; (х2 -6х + 2)( х2 -6х + 4) = 8.

Answer 1

1. х²=169

х₁ = -13, х₂=13

х²=7

х₁= -√7, х₂=√7

х²= -10

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

5х²+3х=0

х(5х+3)=0

х₁=0; 5х+3=0

5х= -3

х₂= -0,6

-6х²+7=1

-6х²= 1-7

-6х²= -6 | :(-6) разделим на -6

х²=1

х₁= -1, х₂= 1

-4х²-8=0

-4х²=8 | :(-4) разделим на -4

х²= -2

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству, корней нет)

2. х²-12х+36=0

используя формулу квадрата разности, получаем:

(х-6)²=0

х-6=0

х=6

х²+7х+6=0

D= 49-4×6=49-24=25

x₁= -7+5/2= -2/2= -1

x₂= -7-5/2= -12/2= -6

значит, x₁= -1, x₂= -6

-8х²+6х-10=0 | :(-2) разделим на -2

4х²-3х+5=0

D= 9-4×5=9-20= -11

если D<0, => корней нет

х∈∅(икс принадлежит пустому множеству)

3. -5х²+19х-14=0 |×(-1) домножим на (-1)

5х²-19х+14=0

D= 361-4×5×14=361-280=81

х₁=19+9/2×5=28/10=2,8

х₂=19-9/2×5=10/10=1

значит, x₁=2,8; x₂=1

сумма корней: 2,8+1=3,8

произведение корней: 2,8×1=2,8

4. х²+6х+5= (х+5)(х+1)

8х²+40х+50= 2(2х+5)²

-4х²-4х+8= -4(х+2)(х-1)

5. (-7х+4)(-7х-5)+5х= -20

49х²+35х-28х-20+5х= -20

49х²+12х=0

х(49х+12)=0

х₁=0; 49х+12=0

49х= -12

х₂= -12/49

(-8х+2)(-8х-2)+9х= -4

используя формулу разности квадратов:

64х²-4+9х= -4

64х²+9х=0

х(64х+9)=0

х₁=0; 64х+9=0

64х= -9

х₂= -9/64

6. (-х+4)/(-х-8)=(х+5)/(-х-10)

это пропорция, используем метод "крест-накрест":

(-х+4)(-х-10)=(х+5)(-х-8)

(-х+4)(-х-10)-(х+5)(-х-8)=0

х²+10х-4х-40-(-х²-8х-5х-40)=0

х²+6х-40+х²+13х+40=0

2х²+19х=0

х(2х+19)=0

х₁=0; 2х+19=0

2х= -19

х₂= -19/2

х₂= -9,5

7. -

8. пусть первое число - х, второе число - у

по условию сумма равно 50, => х+у=50

произведение 400, => ху=400

составим систему:

1. х+у=50, 2. х=50-у (подставим вместо х)

ху=400; (50-у)у=400, решаем:

50у-у²=400

у²-50у+400=0

D=2500-4×400=2500-1600=900

y₁=50+30/2=80/2=40

y₂=50-30/2=20/2=10

подставим в первое уравнение второй системы:

х₁=50-у₁=50-40=10

х₂=50-у₂=50-10=40

ответ: это числа 40 и 10

9. -

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання по черзі.

1. Розв’язати неповні квадратні рівняння:

a) $x^2 = 169$: $x^2 = 169 \Rightarrow x = \pm \sqrt{169} \Rightarrow x = \pm 13.$

b) $x^2 = 7$: $x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm \sqrt{7}.$

c) $x^2 = -10$: Квадрат числа не може бути від'ємним, отже, це рівняння не має розв'язків.

d) $5x^2 + 3x = 0$: $5x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(5x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{3}{5}.$

e) $-6x^2 + 7 = 1$: $-6x^2 = -6 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.$

f) $-4x^2 - 8 = 0$: $-4x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = -2 \Rightarrow \text{рішення відсутні в області дійсних чисел}.$

2. Розв’язати повні квадратні рівняння:

a) $x^2 - 12x + 36 = 0$: $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 = 0 \Rightarrow x = 6.$

b) $x^2 + 7x + 6 = 0$: $x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6) = 0 \Rightarrow x = -1, -6.$

c) $-8x^2 + 6x - 10 = 0$: $-8x^2 + 6x - 10 = -2(4x^2 - 3x + 5) = 0$ Для подальшого розв'язання скористаємося квадратними формулами, отримаємо два корені.

3. Записати суму та добуток коренів квадратного рівняння:

Для рівняння $-5x^2 + 19x - 14 = 0$, скористаємося квадратними формулами, щоб знайти корені.

4. Розкласти на множники квадратні тричлени:

a) $x^2 + 6x + 5$

b) $8x^2 + 40x + 50$

c) $-4x^2 - 4x + 8$

5. Розв’язати рівняння:

a) $(-7x + 4)(-7x - 5) + 5x = -20$

b) $(-8x + 2)(-8x - 2) + 9x = -4$

6. Знайти суму коренів рівняння:

Для рівняння $(-x + 4)/(-x - 8) = (x + 5)/(-x - 10)$, знайдемо корені та їх суму.

7. Скласти три різні квадратні рівняння:

Знайдіть три рівняння, у яких корені будуть -1,5 та 2,7.

8. Знайти два числа за їх сумою та добутком:

Два числа, сума яких дорівнює 50, а добуток - 400.

9. Розв’язати рівняння:

a) $(x^2 + 7x)^2 + 14(x^2 + 6x) + 49 = 0$

b) $(x^2 - 6x + 2)(x^2 - 6x + 4) = 8$