Question

Решите систему уравнений методом замены переменной, пожалуйста x^3+y^3=28 x^2-xy+y^2=7

Answer 1

Ответ:

X³-y³=28⇒(x-y)(x²+xy+y²)=28

x²+xy+y²=7

x-y=28:7

x-y=4

x=y+4

(y+4)³-y³=28

y³+12y²+48y+64-y³-28=0

12y²+48y+36=0

y²+4y+3=0

y1+y2=-4 U y1*y2=3

y1=-3⇒x1=-3+4=1

y2=-1⇒x2=-1=4=3

(1;-3);(3;-1)

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений методом замены переменной. Для этого представим $y$ через новую переменную $u$:

$y = u$

Теперь мы можем переписать второе уравнение в терминах $u$:

$x^2 - xu + u^2 = 7 \quad (1)$

Аналогично, возводим первое уравнение в куб:

$x^3 + u^3 = 28 \quad (2)$

Рассмотрим уравнение $(1)$ как квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - xu + u^2 - 7 = 0$

Используем квадратное уравнение:

$x = \frac{u \pm \sqrt{u^2 - 4(u^2 - 7)}}{2} = \frac{u \pm \sqrt{29 - 3u^2}}{2} \quad (3)$

Теперь мы имеем два выражения для $x$ через $u$. Подставим их в уравнение $(2)$:

$\left(\frac{u \pm \sqrt{29 - 3u^2}}{2}\right)^3 + u^3 = 28$

После раскрытия кубов и упрощения, у нас будет два возможных уравнения для $u$:

$\frac{u^3}{8} \pm \frac{u^2\sqrt{29 - 3u^2}}{4} + \frac{29 - 3u^2}{4} + u^3 - 28 = 0$

Далее, упрощаем и решаем каждое уравнение относительно $u$. Решения этих уравнений позволят найти соответствующие значения $x$ и $y$.

Замечание: Эти уравнения довольно сложные, и они могут иметь разные типы решений в зависимости от конкретных значений. Решения могут быть аналитическими или требовать численных методов.