Question

Інтеграл от 0 до 1 (2x+1)^4 dx, срочно!

Answer 1

Ответ:

$\int\limits^{ 1 } _ {0} {(2x + 1)}^{4} dx = \frac{1}{2} \int\limits^{ 1} _ {0} {(2x + 1)}^{4} d(2x + 1) = \\ = \frac{ {(2x + 1)}^{5} }{10} | ^{ 1 } _ {0} = \frac{1}{10} ((2 + 1) {}^{5} - 1) = \\ = \frac{405 - 1}{10} = 40.4$

Answer 2

Щоб знайти інтеграл від функції (2x + 1)^4 від 0 до 1, вам потрібно використовувати правило інтегрування. Ось розв'язок:

∫(2x + 1)^4 dx

Спершу розгорнемо вираз (2x + 1)^4 за допомогою біноміальної теореми:

(2x + 1)^4 = C(4,0)(2x)^4(1)^0 + C(4,1)(2x)^3(1)^1 + C(4,2)(2x)^2(1)^2 + C(4,3)(2x)^1(1)^3 + C(4,4)(2x)^0(1)^4

Де C(n, k) - це біноміальний коефіцієнт (число способів вибрати k елементів з множини n елементів). Тепер обчислимо ці коефіцієнти:

C(4,0) = 1 C(4,1) = 4 C(4,2) = 6 C(4,3) = 4 C(4,4) = 1

Тепер підставимо ці значення у розгорнутий вираз:

∫(2x + 1)^4 dx = 1∫(2x)^4 dx + 4∫(2x)^3 dx + 6∫(2x)^2 dx + 4∫(2x)^1 dx + 1∫(1)^4 dx

Тепер знайдемо окремо кожен з інтегралів:

∫(2x)^4 dx = (2/5) * (2x)^5 + C1 = (32/5) * x^5 + C1

∫(2x)^3 dx = (2/4) * (2x)^4 + C2 = (8/4) * x^4 + C2 = 2x^4 + C2

∫(2x)^2 dx = (2/3) * (2x)^3 + C3 = (8/3) * x^3 + C3

∫(2x)^1 dx = (2/2) * (2x)^2 + C4 = (4/2) * x^2 + C4 = 2x^2 + C4

∫(1)^4 dx = x + C5

Тепер підставимо ці результати у вихідний вираз:

1∫(2x)^4 dx + 4∫(2x)^3 dx + 6∫(2x)^2 dx + 4∫(2x)^1 dx + 1∫(1)^4 dx = (32/5) * x^5 + C1 + 4 * (2x^4 + C2) + 6 * (8/3) * x^3 + C3 + 4 * (2x^2 + C4) + x + C5

Тепер обчислимо цей вираз від 0 до 1:

[(32/5) * 1^5 + C1 + 4 * (2 * 1^4 + C2) + 6 * (8/3) * 1^3 + C3 + 4 * (2 * 1^2 + C4) + 1 + C5] - [(32/5) * 0^5 + C1 + 4 * (2 * 0^4 + C2) + 6 * (8/3) * 0^3 + C3 + 4 * (2 * 0^2 + C4) + 0 + C5]

Спростилиши вираз, який містить нулі, отримаємо:

[(32/5) + C1 + 4 * (2 * 1 + C2) + (8/3) * 1 + C3 + 4 * (2 * 1 + C4) + 1 + C5] - [0 + C1 + 0 + 0 + C3 + 0 + 0 + C5]

Результат знаходиться виразом:

(32/5) + 4 * (2 + C2) + (8/3) + 4 * (2 + C4) + 1

Якщо вам потрібна точна відповідь, вам потрібно знати значення констант C1, C2, C3, C4 і C5 або застосовувати заздалегідь відомі умови задачі для їх обчислення.