Question

1)інтеграл (5x^3-6x^2-4/x+1)dx 2)інтеграл x*dx/ корінь квадратний x^2+1 3)інтеграл xdx/sin^2*4x^2

Answer 1

Решение.

1.  Выделим целую часть рациональной дроби .

$\displaystyle \bf \int \frac{5x^3-6x^2-4}{x+1}\, dx=\int \Big(5x^2-11x+11-\frac{15}{x+1}\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{5}{3}\, x^3-\frac{11}{2}\, x^2+11x-15\, ln|x+1|+C$  

2.  Подведение под знак дифференциала.

$\displaystyle \bf \int \frac{x\, dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2+1}+C=\\\\\\=\sqrt{x^2+1}+C$    

Формула:    $\displaystyle \bf \int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+C$

3.  Подведение под знак дифференциала.

$\displaystyle \bf \int \frac{x\, dx}{sin^2(4x^2)}=\frac{1}{8}\int \frac{8x\, dx}{sin^2(4x^2)}=\frac{1}{8}\int \frac{d(4x^2)}{sin^2(4x^2)}=-\frac{1}{8}\cdot ctg(4x^2)+C$

Формула:     $\displaystyle \bf \int \frac{dt}{sin^2t}=-ctgt+C$

Answer 2

1. Інтеграл ∫(5x^3 - 6x^2 - 4)/(x + 1) dx:

Спочатку розділімі чисельник на дільник за допомогою довільної подібності:

∫(5x^3 - 6x^2 - 4)/(x + 1) dx = ∫(5x^2 - 11x + 7 - 3/(x + 1)) dx

Тепер інтегруємо кожен член окремо:

∫5x^2 dx - ∫11x dx + ∫7 dx - ∫3/(x + 1) dx

Інтегруємо кожен член:

(5/3)x^3 - (11/2)x^2 + 7x - 3ln|x + 1| + C,

де C - це константа інтегрування.

2. Інтеграл ∫(x * dx) / √(x^2 + 1):

Спочатку проведемо підстановку, де u = x^2 + 1 і du = 2x dx:

∫(x * dx) / √(x^2 + 1) = (1/2)∫(1/√u) du

Тепер здійснимо інтегрування:

(1/2) * 2 * √u + C = √(x^2 + 1) + C,

де C - це константа інтегрування.

3. Інтеграл ∫(x * dx) / sin^2(4x^2):

Це інтеграл від функції з піднесеним до квадрата синусом. Щоб вирішити цей інтеграл, використаємо ідентичність sin^2(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2:

∫(x * dx) / sin^2(4x^2) = ∫(x * dx) / ((1 - cos(8x^2)) / 2)

Тепер здійснимо підстановку, де u = 8x^2 і du = 16x dx:

∫(x * dx) / ((1 - cos(8x^2)) / 2) = ∫(1/16) * (2/x) * (x * dx) / (1 - cos(u)) du

(1/8) ∫(1/x) du / (1 - cos(u))

Тепер знайдемо інтеграл:

(1/8) * ∫(1/x) du / (1 - cos(u))

Зараз це стала класичною задачею з обчислення інтегралів для функцій вигляду 1/(x * (1 - cos(u))). Вона розв'язується за допомогою методу дробових частин або за допомогою формули заміни:

(1 - cos(u)) = 2 * sin^2(u/2)

Отже,

(1/8) ∫(1/x) * du / (2 * sin^2(u/2))

Тепер використовуємо підстановку sin(u/2) = t, отримуємо du = 2 * cos(u/2) * (1/2) * dt:

(1/8) * ∫(1/x) * (1/2) * (1/t^2) * dt

(1/16) * ∫(1/x) * (1/t^2) * dt

Зараз інтеграл розв'язано із змінними u та t. Тепер ми повертаємося до початкових змінних:

(1/16) * ∫(1/x) * (1/t^2) * dt = (1/16) * ∫(1/x) * (1/(sin^2(u/2))) * (2/cos(u/2)) * dt

(1/8) * ∫(1/x) * (1/(sin^2(u/2))) * (1/cos(u/2)) * dt

Отже, кінцевий інтеграл виглядає наступним чином:

(1/8) * ∫(csc^2(u/2)/x) du

Тепер використовуємо підстановку sin(u/2) = t:

(1/8) * ∫(1/(2t)) * (csc^2(u/2)/x) * (2/t) * dt

(1/4) * ∫(csc^2(u/2)/x) du

Ми маємо дуже складний інтеграл, який може бути розв'язаний за допомогою декількох послідовних підстановок і тригонометричних ідентичностей. Я рекомендую скористатися програмою для символьних обчислень або математичними пакетами, такими як Mathematica або Wolfram Alpha, для обчислення цього інтегралу.