Question

50 БАЛЛОВ. ПОМОГИТЕ СРОЧНО при каком наименьшем значении параметра a в уравнение x^3-8/x-2=a имеет ровно один корень​

Answer 1

Ответ:   a=3 .

$\dfrac{x^3-8}{x-2}=a\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\ne 2\ ,\\\\\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=a\ \ \Rightarrow \ \ \ \ x^2+2x+4=a\ ,\ x\ne 2\ \ ,\\\\x^2+2x+(4-a)=0\\\\D=b^2-4ac=2^2-4(4-a)=4-16+4a=4a-12=4(a-3)$

Квадратный трёхчлен имеет единственный корень, если дискриминант равен  0 .

$D=4(a-3)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ a-3=0\ \ ,\ \ \boxed{a=3}$

При х=2 выражение   $x^2+2x+4$  принимает значение, равное 12 , так как  $2^2+2\cdot 2+4=4+4+4=12$ . Тогда параметр   а=12 .

При а=12 имеем  $x^2+2x+4=12\ \ ,\ \ x^2+2x-8=0\ \ \to \ \ x_1=-4\ ,\ x_2=2$ .

Так как  х=2 не входит в ОДЗ , то остаётся один корень х= -4 при  а=12 .

Наименьшее значение параметра "а" , при котором заданное уравнение имеет один корень - это а=3 .

Answer 2

Прежде всего, давай посмотрим на уравнение: $\frac{x^3 - 8}{x - 2} = a$. Мы хотим найти такое значение параметра $a$, при котором уравнение имеет ровно один корень.

Первым шагом давай попробуем упростить уравнение. Разделим $x^3 - 8$ на $x - 2$ с помощью деления полиномов или синтетического деления:

$$\begin{align*} x^2 + 2x + 4 & \quad \text{остаток } 0. \end{align*}$$

Таким образом, уравнение может быть переписано в виде:

$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).$

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 = a.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для того чтобы у него был ровно один корень, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $ax^2 + bx + c = 0$ - общий вид квадратного уравнения.

В нашем случае у нас $a = 1$, $b = 2$, и $c = 4$. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

$D = 2^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12.$

Дискриминант отрицательный, что означает, что у нас нет действительных корней. Однако, если мы рассматриваем комплексные корни, то у нас есть два комплексных корня.

Таким образом, для параметра $a$ нет такого значения, при котором уравнение имеет ровно один действительный корень. Если что-то не так, дай знать!