Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнения x² - x + a + 0 и 2x² + x + a + 1 = 0 имеют общий корень

Answer 1

Для того чтобы уравнения имели общий корень, их дискриминанты должны быть равны нулю.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 - x + a = 0$. Его дискриминант равен $D_1 = 1 - 4a$.

Рассмотрим второе уравнение: $2x^2 + x + a + 1 = 0$. Его дискриминант равен $D_2 = 1 - 8a$.

Таким образом, чтобы у уравнений был общий корень, необходимо и достаточно, чтобы $D_1 = D_2 = 0$. Это приводит к следующей системе уравнений:

$$\begin{cases} 1 - 4a = 0 \\ 1 - 8a = 0 \end{cases}$$

Решая эту систему, мы получаем:

$$\begin{cases} a = \frac{1}{4} \\ a = \frac{1}{8} \end{cases}$$

Таким образом, уравнения имеют общий корень при $a = \frac{1}{4}$ и $a = \frac{1}{8}$.