Question

Прошу, помогите!!! Задана функция f(x)= √32-4x-x^2 а) Найдите область определения данной функции б) Найдите множество значений данной функции в) Найдите нули данной функции г) Укажите промежутки возрастания данной функции д) Укажите промежутки знакопостоянства данной функции е) Определите минимум и максимум данной функции ж) Постройте график данной функции

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Давайте рассмотрим заданную функцию f(x) = √(32 - 4x - x^2) и поочередно выполним каждый из запрошенных пунктов:

а) Область определения функции: Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. В данном случае, подкоренное выражение (32 - 4x - x^2) должно быть неотрицательным, иначе корень из отрицательного числа не существует:

32 - 4x - x^2 ≥ 0

Давайте решим это неравенство:

x^2 + 4x - 32 ≤ 0

Факторизуем его:

(x + 8)(x - 4) ≤ 0

Теперь найдем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Это интервалы между корнями уравнения (x + 8)(x - 4) = 0:

x + 8 = 0 => x = -8 x - 4 = 0 => x = 4

Таким образом, интервалы, на которых функция определена, это (-∞, -8] и [4, +∞).

б) Множество значений функции: Множество значений - это множество всех возможных значений функции. В данном случае, функция представляет собой корень из выражения (32 - 4x - x^2), и она всегда будет неотрицательной или равной нулю, так как корень не может быть отрицательным. Следовательно, множество значений функции - это [0, ∞).

в) Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Для нахождения нулей решим уравнение:

√(32 - 4x - x^2) = 0

32 - 4x - x^2 = 0

x^2 + 4x - 32 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его, используя квадратное уравнение:

(x + 8)(x - 4) = 0

x + 8 = 0 => x = -8 x - 4 = 0 => x = 4

Нули функции: x = -8 и x = 4.

г) Промежутки возрастания функции: Чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно определить интервалы, на которых производная функции положительна. Сначала найдем производную f'(x):

f(x) = √(32 - 4x - x^2) f'(x) = d/dx[√(32 - 4x - x^2)]

Для упрощения производной используем цепное правило:

f'(x) = (1/2) * (32 - 4x - x^2)^(-1/2) * (-4 - 2x)

Теперь определим, когда производная положительна:

(1/2) * (32 - 4x - x^2)^(-1/2) * (-4 - 2x) > 0

Заметим, что (1/2) * (32 - 4x - x^2)^(-1/2) всегда положительно, так как корень всегда неотрицательный, и (-4 - 2x) имеет противоположный знак относительно x. То есть, чтобы выражение было положительным, (-4 - 2x) должно быть отрицательным:

-4 - 2x < 0

2x > -4

x < -2

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, -2).

д) Промежутки знакопостоянства функции: Для определения промежутков знакопостоянства функции рассмотрим знак f(x) на интервалах между критическими точками (-8 и 4) и за пределами этих точек:

1. Для x < -8: Выражение (32 - 4x - x^2) положительное, и корень существует, поэтому f(x) положительна.
2. Для -8 < x < -2: Выражение (-4 - 2x) отрицательное, и корень существует, поэтому f(x) положительна.
3. Для -2 < x < 4: Выражение (-4 - 2x) положительное, и корень существует, поэтому f(x) положительна.
4. Для x > 4: Выражение (32 - 4x - x^2) положительное, и корень существует, поэтому f(x) положительна.

Таким образом, функция положительна на интервалах (-∞, -8), (-8, -2), (-2, 4), и (4, +∞).

е) Минимум и максимум функции: Чтобы найти минимум и максимум функции, нужно рассмотреть её поведение внутри интервалов (-∞, -8), (-8, -2), (-2, 4), и (4, +∞), а также на концах этих интервалов.

1. В интервале (-∞, -8): Функция возрастает, поэтому здесь нет минимума и максимума.
2. В интервале (-8, -2): Функция также возрастает, поэтому здесь нет минимума и максимума.
3. В интервале (-2, 4): Функция всегда положительна, но убывает при увеличении x, поэтому минимум функции находится в точке x = 4.
4. В интервале (4, +∞): Функция также положительна и убывает, поэтому максимум функции находится в точке x = 4.

Итак, минимум функции находится в точке (4, 0), и максимум в той же точке (4, 0).

ж) Построение графика функции: Теперь мы можем построить график функции f(x). График будет иметь форму полуэллипса и будет располагаться выше оси x, так как функция всегда положительна:

[Вставить график здесь]

На графике можно увидеть, что минимум функции находится в точке (4, 0), и график симметричен относительно вертикальной линии x = 4.