Question

Разложите на множители x^4-x^2-2x-1 плиз

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x^4 - x^2 - 2x - 1 = x^4 - (x^2 + 2x + 1)=

=(x²)² - (x+1)² = (x² - x - 1)(x² + x + 1)

Answer 2

Для разложения многочлена $x^4 - x^2 - 2x - 1$ на множители мы можем воспользоваться методом синтетического деления или использовать кратность корней. Попробуем найти корни этого многочлена:

$x^4 - x^2 - 2x - 1 = 0$

Мы можем предположить, что $x = 1$ - один из корней многочлена. Проверим это, подставив $x = 1$:

$1^4 - 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 1 - 2 - 1 = -3$

Как видно, $x = 1$ не является корнем многочлена. Теперь давайте попробуем $-1$:

$(-1)^4 - (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 1 = 1 - 1 + 2 - 1 = 1$

$x = -1$ - корень многочлена. Это означает, что $(x + 1)$ является одним из множителей. Теперь мы можем разделить исходный многочлен на $(x + 1)$ с помощью синтетического деления:

$$\begin{array}{rrrrr} -1: & 1 & -1 & -2 & -1 \\ & & -1 & 2 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & -1 \\ \end{array}$$

Результат синтетического деления: $x^3 - 2x^2 - 1$. Теперь мы можем продолжить разложение этого многочлена.

Мы видим, что $x = 1$ также является корнем $x^3 - 2x^2 - 1$. Таким образом, $(x - 1)$ также является множителем. Повторим синтетическое деление:

$$\begin{array}{rrrr} 1: & 1 & -2 & -1 \\ & & 1 & -1 \\ \hline & 1 & -1 & -2 \\ \end{array}$$

Результат: $x^2 - x - 2$. Теперь мы можем разложить этот многочлен на множители. Начнем с поиска корней:

$x^2 - x - 2 = 0$

Мы видим, что этот многочлен может быть разложен следующим образом:

$(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x + 1)$

Теперь мы можем записать исходный многочлен как произведение всех найденных множителей:

$x^4 - x^2 - 2x - 1 = (x + 1)(x - 1)(x - 2)(x^2 - x - 2)$

Если вы хотите, вы можете продолжить разложение $x^2 - x - 2$ на множители, используя квадратное уравнение.