Question

Найти промежутки монотонности функции f(x) = x^3+3x^2-24x+1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Используйте тест знаков производной для определения промежутков монотонности.

Шаг 1: Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 24$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

$3x^2 + 6x - 24 = 0$

Для удобства, разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, используя квадратное уравнение:

$(x + 4)(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Теперь у нас есть две критические точки: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Шаг 3: Используем тест знаков производной, чтобы определить промежутки монотонности.

• Рассмотрим интервал $(- \infty, -4)$. Возьмем произвольную точку $x_0$ из этого интервала, например, $x_0 = -5$. Подставим $x_0$ в производную $f'(x)$:

  $f'(-5) = 3(-5)^2 + 6(-5) - 24 = 75 - 30 - 24 = 21$

  Так как $f'(-5) > 0$, то на интервале $(- \infty, -4)$ производная положительна, и функция $f(x)$ возрастает.

• Рассмотрим интервал $(-4, 2)$. Возьмем произвольную точку $x_0$ из этого интервала, например, $x_0 = 0$. Подставим $x_0$ в производную $f'(x)$:

  $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 24 = -24$

  Так как $f'(0) < 0$, то на интервале $(-4, 2)$ производная отрицательна, и функция $f(x)$ убывает.

• Рассмотрим интервал $(2, +\infty)$. Возьмем произвольную точку $x_0$ из этого интервала, например, $x_0 = 3$. Подставим $x_0$ в производную $f'(x)$:

  $f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 24 = 27 + 18 - 24 = 21$

  Так как $f'(3) > 0$, то на интервале $(2, +\infty)$ производная положительна, и функция $f(x)$ возрастает.

Итак, промежутки монотонности функции $f(x)$ следующие:

• $f(x)$ возрастает на интервале $(- \infty, -4)$ и $(2, +\infty)$.
• $f(x)$ убывает на интервале $(-4, 2)$.