Question

Разделите число 120 на три положительных вычитания так, чтобы два из них были в отношении 2:3 и произведение трех вычитаний было наибольшим.

Answer 1

Ответ:

120 =32+48+ 40

Объяснение:

Надо представить число 120 в виде суммы трех слагаемых, так что два из них были в отношении 2: 3 , так чтобы произведение было наибольшим.

Пусть первое слагаемое 2х ( 2x>0;  x>0), второе слагаемое будет 3х, а третье слагаемое (120 -5х) ( 120-5x>0,то есть  x<24) . Тогда рассмотрим функцию произведения данных чисел

$f(x)= 2x\cdot3x\cdot(120-5x)=6x^{2} \cdot(120-5x)=720x^{2} -30x^{3}$

Так как функция непрерывна в точках х=0 и х=24, то найдем наибольшее значение полученной функции на отрезке [0; 24]

Для этого найдем производную данной функции

$f'(x)= (720x^{2} -30x^{3})'=1440x-90x^{2}$

Найдем критические точки, решив уравнение

$f'(x)=0;\\1440x-90x^{2}=0;\\x(1440-90x)=0\\x{_1}=0 \\1440-90x=0;\\90x=1440;\\x=1440:90;\\x=16\\ x{_2}= 16$

Полученные критические точки принадлежат заданному отрезку. Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке х=16

$f(0) = 720\cdot^{2} -30\cdot 0^{3} =0;\\f(16) = 6\cdot 16^{2} \cdot(120-5\cdot16)= 6\cdot256\cdot 40=61440;\\f(24)=6\cdot 24^{2} \cdot(120-5\cdot24)=6\cdot576\cdot0=0$

Наибольшее значение функции достигается при х=16. Тогда найдем все слагаемые

$2\cdot16=32-$ первое слагаемое

$3\cdot16=48 -$ второе слагаемое

$120-5\cdot16=120-80=40 -$ третье слагаемое.

Тогда

120 =32+48+ 40

#SPJ1

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим три положительных вычитания как "x," "y," и "z." Мы хотим, чтобы два из них были в отношении 2:3, что означает, что:

x = 2k y = 3k

где "k" - это некоторое положительное число. Тогда третье вычитание "z" можно записать как:

z = 120 - (x + y) z = 120 - (2k + 3k) z = 120 - 5k

Теперь мы хотим максимизировать произведение x, y и z, то есть x * y * z. Подставим значения x и y в это выражение:

x * y * z = (2k) * (3k) * (120 - 5k)

Теперь давайте найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти максимум:

d/dk (x * y * z) = d/dk [(2k) * (3k) * (120 - 5k)]

Используя правило производной произведения, получим:

d/dk (x * y * z) = (6k) * (120 - 5k) + (2k) * (3k) * (-5)

Теперь приравняем это к нулю и решим уравнение:

0 = (6k) * (120 - 5k) + (2k) * (3k) * (-5)

Упростим:

0 = (6k) * (120 - 5k) - 30k^2

0 = 720k - 30k^2 - 5k^2

0 = 720k - 35k^2

35k^2 = 720k

35k = 720

k = 720 / 35 k ≈ 20.57 (округляем до двух знаков после запятой)

Теперь, когда мы знаем значение "k," мы можем найти x, y и z:

x = 2k ≈ 2 * 20.57 ≈ 41.14 y = 3k ≈ 3 * 20.57 ≈ 61.71 z = 120 - 5k ≈ 120 - 5 * 20.57 ≈ 19.15

Итак, чтобы получить максимальное произведение трех вычитаний, вы должны взять вычитания следующим образом:

x = 41.14 y = 61.71 z = 19.15

Проверим, что произведение максимально:

x * y * z ≈ 41.14 * 61.71 * 19.15 ≈ 48514.21

Таким образом, максимальное произведение трех вычитаний составляет примерно 48514.21.