Question

Число 63 представьте в виде суммы трех положительных чисел так,чтобы два из них были пропорциональны числам 1 и 2 ,а произведение этих трех чисел было наибольшим

Answer 1

Пусть два числа 
1:2 = x:2x
третье число 63-x-2x = 63-3x

произведение : x * 2x * (63-3x)  представим в виде функции  
y=x * 2x * (63-3x)  = 126x^2 -6x^3
y = 126x^2 -6x^3      (1)
найдем экстремум функции
производная
y' = (126x^2 -6x^3)' = 252x - 18x^2
приравниваем к нулю
0 = 252x - 18x^2 = 18x * (14-x)
произведение равно нулю,если один из множителей равен нулю
x = 0  - не подходит 
или
14-x =0 ; x =14
подставим в уравнение
y = 126*14^2 -6*14^3 = 8232

тогда искомые числа
x : 2x = 14 : 28
третье число
63 - 14 - 28 = 21

сумма  14+28+21 =63
произведение 14*28*21 =8232

ответ 14+28+21 =63

Answer 2

Давайте представим, что три положительных числа, обозначенные как \(x\), \(y\) и \(z\), представляют собой сумму трех положительных чисел, исходя из условий задачи:

\[63 = x + y + z\]

Также условие требует, чтобы два из этих чисел были пропорциональны числам 1 и 2. Обозначим эти два числа как \(a\) и \(2a\):

\[y = a, \quad z = 2a\]

Теперь мы можем выразить \(x\), \(y\) и \(z\) через \(a\):

\[x = 63 - a - 2a = 63 - 3a\]

Теперь у нас есть выражения для всех трех чисел в терминах \(a\). Цель - найти такое значение \(a\), при котором произведение \(xyz\) будет наибольшим.

\[xyz = (63 - 3a) \cdot a \cdot (2a)\]

Раскроем скобки и упростим:

\[xyz = (63a - 3a^2) \cdot 2a\]

\[xyz = 126a^2 - 6a^3\]

Теперь мы можем взять производную и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки:

\[\frac{d}{da}(126a^2 - 6a^3) = 0\]

\[252a - 18a^2 = 0\]

\[18a(14 - a) = 0\]

Отсюда получаем два значения \(a\): \(a = 0\) и \(a = 14\). Так как \(a\) должно быть положительным, то \(a = 14\) является подходящим значением.

Теперь найдем соответствующие значения для \(x\), \(y\) и \(z\):

\[a = 14\]

\[y = a = 14\]

\[z = 2a = 28\]

\[x = 63 - 3a = 63 - 42 = 21\]

Таким образом, три положительных числа, сумма которых равна 63, а два из них пропорциональны 1 и 2, такие: 21, 14, 28. Проверим, что их произведение максимально:

\[xyz = 21 \cdot 14 \cdot 28 = 8232\]

Таким образом, при данных условиях максимальное произведение равно 8232.