Question

12. Розв'язати нерівність - 4х² < 7х +2. ​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\-4x^{2} < 7x+2\\\\-4x^{2} -7x-2 < 0\\\\4x^{2} +7x+2 > 0$

Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим его на множители :

$\displaystyle\bf\\4x^{2} +7x+2=0\\\\D=7^{2} -4\cdot 4\cdot 2=49-32=17\\\\\\x_{1} =\frac{-7-\sqrt{17} }{8}\\\\\\x_{2} =\frac{-7+\sqrt{17} }{8} \\\\\\4x^{2} +7x+2=4\cdot\Bigg(x-\frac{7+\sqrt{17} }{8} \Bigg)\cdot\Bigg(x-\frac{7-\sqrt{17} }{8} \Bigg)\\\\\\4\cdot\Bigg(x-\frac{7+\sqrt{17} }{8} \Bigg)\cdot\Bigg(x-\frac{7-\sqrt{17} }{8} \Bigg) > 0\\\\\\ \Bigg(x-\frac{7+\sqrt{17} }{8} \Bigg)\cdot\Bigg(x-\frac{7-\sqrt{17} }{8} \Bigg) > 0$

Решим неравенство методом интервалов :

$\displaystyle\bf\\+ + + + + \Big(\frac{-7-\sqrt{17} }{8}\Big) - - - - - \Big(\frac{-7+\sqrt{17} }{8} \Big) + + + + + \\\\\\Otvet \ : \ x\in\Big(-\infty \ ; \ \frac{-7-\sqrt{17} }{8} \Big) \ \cup \ \Big(\frac{-7+\sqrt{17} }{8} \ ; \ +\infty\Big)$

Answer 2

Для розв'язання даної квадратної нерівності спростимо її:

-4x² < 7x + 2

Додамо 4x² обидві сторони рівності та віднімемо 7x і 2:

0 < 4x² + 7x + 2

Тепер спростимо праву частину:

4x² + 7x + 2 = 0

Для знаходження коренів квадратного рівняння, можемо використовувати дискримінант, який визначається за формулою:

D = b² - 4ac

У нашому випадку a = 4, b = 7, і c = 2. Підставимо ці значення у формулу:

D = 7² - 4 * 4 * 2 = 49 - 32 = 17

Дискримінант D дорівнює 17.

Тепер можемо знайти корені квадратного рівняння за допомогою квадратного кореня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) x₂ = (-b - √D) / (2a)

Підставимо значення a, b, і D:

x₁ = (-7 + √17) / (2 * 4) ≈ (-7 + 4.123) / 8 ≈ -0.47 x₂ = (-7 - √17) / (2 * 4) ≈ (-7 - 4.123) / 8 ≈ -1.04

Отже, маємо два корені квадратного рівняння: x₁ ≈ -0.47 і x₂ ≈ -1.04.

Тепер визначимо знаки нерівності для кожного інтервалу на числовій прямій, використовуючи знайдені корені:

1. x < -1.04
2. -1.04 < x < -0.47
3. x > -0.47

Отже, розв'язок нерівності -4x² < 7x + 2 є:

x належить інтервалу (-∞, -1.04) об'єднаного з інтервалом (-0.47, ∞).