Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ (20 БАЛОВ) b1, b2, b3 ... - геометрична прогресія. Знайдіть b1 і q, якщо: а) b3=625, b7=81б) b5=3, b10=27✓3в) b4= 9/32, b8= 1/18г) b4=-6, b7= 115/128​

Answer 1

Ответ:

вот

Объяснение:

а) Знаємо, що в геометричній прогресії кожний член дорівнює попередньому помноженому на q. Тоді можна записати таку систему рівнянь для b1 і q, використовуючи дані з умови:

b3 = b1 * q^2 (рівняння для третього члена)

b7 = b1 * q^6 (рівняння для сьомого члена)

Щоб знайти b1 і q, необхідно розв'язати цю систему рівнянь. Можна спочатку поділити одне рівняння на інше, щоб позбутися від b1:

b7 / b3 = (b1 * q^6) / (b1 * q^2)

81 / 625 = q^4

q = √(81 / 625) = 3/5

Підставимо q у одне з рівнянь для b1, наприклад, у перше:

625 = b1 * (3/5)^2

625 = 9/25 * b1

b1 = 625 * 25/9 = 15625/9

Отже, b1 = 15625/9, q = 3/5.

б) Знову записуємо систему рівнянь для b1 і q, використовуючи дані з умови:

b5 = b1 * q^4 (рівняння для п'ятого члена)

b10 = b1 * q^9 (рівняння для десятого члена)

Поділимо друге рівняння на перше:

b10 / b5 = (b1 * q^9) / (b1 * q^4)

27√3 / 3 = q^5

q = ∛(27√3 / 3) = √3

Тепер можна знайти b1, підставивши q у перше рівняння:

3 = b1 * (√3)^4

b1 = 3 / 3 = 1

Отже, b1 = 1, q = √3.

в) Знову записуємо систему рівнянь:

b4 = b1 * q^3 (рівняння для четвертого члена)

b8 = b1 * q^7 (рівняння для восьмого члена)

Поділимо друге рівняння на перше:

b8 / b4 = (b1 * q^7) / (b1 * q^3)

1/4 = q^4

q = ∛(1/4) = 1/2

Підставляємо q у перше рівняння:

9/32 = b1 * (1/2)^3

9/32

Answer 2

Давайте розглянемо кожен з ваших запитань окремо.

а) b3 = 625, b7 = 81

Ми можемо використовувати формулу для елементу геометричної прогресії:

$b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$

Для першого виразу (b3 = 625), підставимо n = 3:

$625 = b_1 \cdot q^{(3-1)}$

$625 = b_1 \cdot q^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Для другого виразу (b7 = 81), підставимо n = 7:

$81 = b_1 \cdot q^{(7-1)}$

$81 = b_1 \cdot q^6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Тепер у нас є дві рівняння з двома невідомими (b1 та q). Ми можемо розв'язати цю систему для b1 та q.

б) b5 = 3, b10 = 27√3

Використовуючи аналогічну логіку, ми можемо написати рівняння для b5 та b10:

$b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)}$

$3 = b_1 \cdot q^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

$b_{10} = b_1 \cdot q^{(10-1)}$

$27\sqrt{3} = b_1 \cdot q^9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$

в) b4 = 9/32, b8 = 1/18

Аналогічно, для b4 та b8:

$\frac{9}{32} = b_1 \cdot q^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$

$\frac{1}{18} = b_1 \cdot q^7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$

г) b4 = -6, b7 = 115/128

І останній набір рівнянь:

$-6 = b_1 \cdot q^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$

$\frac{115}{128} = b_1 \cdot q^6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$

Тепер, коли у нас є восьме рівняння, ми можемо спробувати розв'язати цю систему рівнянь. Можливо, вам знадобиться використовувати комп'ютерний програмний пакет для аналітичного розв'язання цієї складної системи рівнянь, оскільки вона не має простого аналітичного рішення.

Якщо у вас є можливість використовувати програму для аналізу, як MATLAB, Octave, Python (з бібліотеками, такими як NumPy та SciPy), ви можете скористатися ним, щоб отримати значення b1 та q для кожного варіанту.

Answer 3

Для кожного пункту задачі ми скористаємося формулами для n-го члена та загального члена геометричної прогресії.

Формули:

1. n-й член геометричної прогресії: $b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$
2. Загальний член геометричної прогресії: $b_n = b_1 \cdot q^n$

а) b3 = 625, b7 = 81:

Для першого випадку маємо: $b_3 = b_1 \cdot q^2 = 625$ (1) $b_7 = b_1 \cdot q^6 = 81$ (2)

Розділимо (2) на (1):

$\frac{b_7}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^6}{b_1 \cdot q^2} = q^4 = \frac{81}{625}$

Отримуємо:

$q = \sqrt[4]{\frac{81}{625}} = \frac{3}{5}$

Підставимо q у (1):

$b_1 = \frac{625}{q^2} = \frac{625}{(\frac{3}{5})^2} = \frac{625}{\frac{9}{25}} = \frac{625 \cdot 25}{9} = \frac{15625}{9} = \frac{625}{3}$.

б) b5 = 3, b10 = 27√3:

Маємо:

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 3$ (3) $b_{10} = b_1 \cdot q^9 = 27\sqrt{3}$ (4)

Розділимо (4) на (3):

$\frac{b_{10}}{b_5} = \frac{b_1 \cdot q^9}{b_1 \cdot q^4} = q^5 = \frac{27\sqrt{3}}{3}$

Отримуємо:

$q = \sqrt[5]{\frac{27\sqrt{3}}{3}} = \sqrt[5]{9\sqrt{3}}$

Підставимо q у (3):

$b_1 = \frac{3}{q^4} = \frac{3}{(9\sqrt{3})^4} = \frac{3}{2187\sqrt{3}} = \frac{1}{729\sqrt{3}}$