Question

3.(an)-арифметична прогресія: а8+а10=15 а9-? 4.(bn)-геометрична прогресія : b8×b10=144 b10-? 5.1+1/3+1/9+1/27....нескінченна прогресія : S-? 6.(an ) - арифметична прогресія : а10=95 S10=500 a1-? d-?

Answer 1

Ось розв'язки на фотографіях

Answer 2

3. а1+7d+a1+9d=15
2a1+16d=15
a1+8d=7,5
a9=a1+8d=7,5

4. b1•q^7•b1•q^9=144
b1^2•q^16=144
b1•q^8=12
b9=b1•q^8=12

5. q=b2:b1=1/3:1=1/3
b1 1
S = ------ = ------ = 3/2 = 1,5
1–q 2/3

6. S10 = (a1+а10)•5=(а1+95)•5=5а1+475
5а1+475=500
5а1=500–475
5а1=25 a1=5
а1+9d=95
9d=95–5
9d=90
d=10

Answer 3

1. Для арифметичної прогресії (an), де a8 + a10 = 15, ми можемо скористатися формулою для суми елементів арифметичної прогресії: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] де \(S_n\) - сума перших n членів прогресії, \(a_1\) - перший член, \(a_n\) - n-тий член.

У даному випадку ми знаємо, що \(a_8 + a_{10} = 15\), а отже, \(a_1 + a_{10} = 2 \cdot a_8 + d + a_{10} = 15\), де d - різниця арифметичної прогресії.

Ми також можемо використати формулу для n-того члена арифметичної прогресії: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Використовуючи ці формули, можемо знайти a1 і d: \[ a_1 + a_{10} = 2 \cdot a_8 + d + a_{10} = 15 \] \[ a_1 + a_1 + 9d = 2(a_1 + 7d) + d + a_1 + 9d = 15 \] \[ 2a_1 + 9d = 2a_1 + 15d \] \[ 6d = 0 \] \[ d = 0 \]

Тепер, знаючи d, можемо знайти a1: \[ a_1 + a_{10} = 2 \cdot a_8 + d + a_{10} = 15 \] \[ a_1 + a_1 + 9 \cdot 0 = 2(a_1 + 7 \cdot 0) + 0 + a_1 + 9 \cdot 0 = 15 \] \[ 2a_1 = 15 \] \[ a_1 = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Отже, a1 = 7.5, d = 0.

2. Для геометричної прогресії (bn), де b8 × b10 = 144, ми можемо скористатися формулою для геометричної прогресії: \[ b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)} \] де \(b_n\) - n-тий член прогресії, \(b_1\) - перший член, \(r\) - знаменник геометричної прогресії.

У даному випадку ми знаємо, що \(b_8 \cdot b_{10} = 144\), а отже, \(b_1 \cdot r^{7} \cdot b_1 \cdot r^{9} = 144\).

Ми також можемо використати формулу для n-того члена геометричної прогресії: \[ b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)} \]

Використовуючи ці формули, можемо знайти \(b_1\) і r: \[ b_1 \cdot r^{7} \cdot b_1 \cdot r^{9} = 144 \] \[ b_1 \cdot r^{16} = 144 \] \[ b_1 \cdot r^{16} = 144 \]

Далі можна розглянути різні комбінації простих чисел, які ділять 144, і вибрати відповідні значення \(b_1\) і r.

3. Для нескінченної прогресії \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \ldots\), ми маємо геометричну прогресію з р = \(\frac{1}{3}\). Сума такої геометричної прогресії обчислюється за формулою: \[ S = \frac{a_1}{1 - r} \] де \(a_1\) - перший член прогресії, \(r\) - знаменник.

У даному випадку \(a_1 = 1\) і \(r = \frac{1}{3}\), тому можемо обчислити суму S: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \]

Отже, сума нескінченної прогресії дорівнює \(\frac{3}{2}\).

4. Для арифметичної прогресії \(a_n\) з а10 = 95 і \(S_{10} = 500\), ми можемо використати формули для n-того члена і суми арифметичної прогресії: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Ми знаємо, що \(a_{10} = 95\) і \(S_{10} = 500\), тому ми можемо визначити \(a_1\) і \(d\): \[ a_{10} = a_1 + 9d = 95 \] \[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + a_{10}) = 500 \]

Розв'язавши ці рівняння, можна знайти значення \(a_1