Question

Кiлькiсть свiтла, що поглинається пiд час проходження крiзь тонкий шар води, пропорцiйна товщинi шару й кiлькостi свiтла, що падає на його поверхню. Якщо пiд час проходження крiзь шар завтовшки 3 м поглинається половина початкової кiлькостi свiтла, то яка частина цiєї кiлькостi дiйде до глибини 30 м?

Answer 1

За умовою, коли шар завтовшки 3 м поглинає половину світла, то шар завтовшки 6 м поглине ще половину від половини, тобто 1/4. Аналогічно, шар завтовшки 9 м поглине 1/8, шар завтовшки 12 м поглине 1/16 і так далі.

Таким чином, кількість світла, яка дійде до глибини 30 м, буде дорівнювати 1/2 × 1/4 × 1/8 × ... × 1/64.

Знайдемо кількість множників в цьому добутку:

30 м / 3 м = 10

Отже, у добутку буде 10 множників.

Тоді 1/2 × 1/4 × 1/8 × ... × 1/64 = 1/2^10 = 1/1024.

Отже, лише 1/1024 частини початкової кількості світла дійде до глибини 30 м.

Answer 2

Давайте розглянемо цю проблему. Якщо пiд час проходження крiзь шар завтовшки 3 м поглинається половина початкової кiлькостi свiтла, то це означає, що залишається також половина початкового свiтла.

Тепер, коли свiтло проходить крiзь шар води завтовшки 3 м, залишаючись в ньому половину свiтла, можна вважати, що ця половина буде аналогiчно розподiлятися на кожному метрi товщини шару. Тобто, на кожному метрi товщини залишається половина свiтла.

Отже, коли свiтло доходить до глибини 30 м, воно буде складатися з послiдовних шарiв:

1. 3 м - залишилася половина початкового свiтла.
2. 3 м - залишилася ще половина свiтла (1/2 * 1/2 = 1/4 початкового свiтла).
3. 3 м - залишилася ще половина свiтла (1/4 * 1/2 = 1/8 початкового свiтла).
4. 3 м - і так далi.

Ми бачимо, що на кожному 3-метровому шарi залишається половина свiтла вiд попереднього шару. Тому загальна кiлькiсть свiтла, яка дiйде до глибини 30 м, буде рiвно 1/2 * 1/4 * 1/8 * ... (продовжуємо множити на 1/2 для кожного шару води).

Ця послiдовнiсть є геометричною прогресiєю з першим членом 1/2 та знаменником 1/2. Формула для суми n перших членiв геометричної прогресiї виглядає так:

S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r),

де S_n - сума перших n членiв, a - перший член, r - знаменник.

У нашому випадку a = 1/2 та r = 1/2. Підставимо ці значення в формулу:

S_n = (1/2) * (1 - (1/2)^n) / (1 - 1/2).

Зараз, коли n = нескінченність (тобто всі шари води), ми отримаємо:

S_∞ = (1/2) * (1 - 0) / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Отже, частина початкової кількості світла, яка дійде до глибини 30 м, дорівнює 2 рази менше початкової кількості світла.