Question

Arccos(x+2)-arcsin 2xПомогите решить, пожалуйста​

Answer 1

Как известно, арккосинус числа t - это угол (лежащий в некоторых пределах, но сейчас это неважно), чей косинус равен t. Аналогичное определение у арксинуса. Отсюда следует область определения этих функций: $t\in [-1;1].$

Поэтому в данной задаче получаем систему неравенств

$\left \{ {{-1\le x+2\le 1} \atop {-1\le 2x\le 1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{-3\le x\le -1} \atop {-\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{2}}} \right.$

Мы видим, что система не имеет ни одного решения, поэтому решить предложенную задачу невозможно.

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Пусть $y = \arccos(x + 2) - \arcsin(2x)$.

Применим функцию синуса к обоим членам уравнения:

$\sin(y) = \sin(\arccos(x + 2) - \arcsin(2x))$.

Мы знаем, что $\sin(\arccos(\theta)) = \sqrt{1 - \theta^2}$ и $\sin(\arcsin(\theta)) = \theta$, поэтому можем применить эти формулы:

$\sin(y) = \sin(\arccos(x + 2)) \cdot \cos(\arcsin(2x)) - \cos(\arccos(x + 2)) \cdot \sin(\arcsin(2x))$.

Теперь можем преобразовать полученное выражение с помощью тригонометрических формул:

$\sin(y) = \sqrt{1 - (x + 2)^2} \cdot \sqrt{1 - (2x)^2} - (x + 2) \cdot 2x$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\sin(y) = \sqrt{1 - x^2 - 4x - 4} \cdot \sqrt{1 - 4x^2} - 2x^2 - 4x$.

Введем новую переменную $u = \sin(y)$:

$u = \sqrt{1 - x^2 - 4x - 4} \cdot \sqrt{1 - 4x^2} - 2x^2 - 4x$.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $u$. Решим его:

$u^2 = (1 - x^2 - 4x - 4) \cdot (1 - 4x^2) - 4(x^2 + 2x)^2$.

Раскроем скобки:

$u^2 = (1 - x^2 - 4x - 4 - 4x^2 + 16x^2) - 4(x^4 + 4x^3 + 4x^2) - 4(x^2 + 4x)$.

Упростим выражение:

$u^2 = 12x^2 - 16x - 4x^4 - 16x^3 - 20x - 4$.

Получившееся уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Решим его и найдем значения $x$. Затем подставим найденные значения $x$ обратно в исходное уравнение, чтобы найти значения $y$.