Question

СРОЧНО!!! 2. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлено четыре независимо работающих светофора. Каждый светофор с интервалом в 2 мин подает красный и зеленый сигналы. Случайная величина X–число остановок на этой улице. a) найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F(x). b) вычислить математическое ожидание M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение (x)

Answer 1

Ответ: Смотреть файл / фото , надеюсь помог

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения закона распределения случайной величины X (число остановок) и ее функции распределения F(x) мы можем использовать метод перебора или комбинаторный метод.

a) Закон распределения случайной величины X: Давайте рассмотрим все возможные варианты остановок на этой улице.

• Вариант 0 остановок: это означает, что автомобиль проезжает через все 4 светофора, не останавливаясь. Вероятность этого события равна вероятности того, что на каждом светофоре будет зеленый свет, и она равна (1/2)^4 = 1/16.

• Вариант 1 остановки: это означает, что автомобиль остановится на одном из светофоров. Существует 4 способа выбрать один из 4 светофоров, на котором произойдет остановка. Вероятность остановки на одном из них и продолжения движения на остальных составляет (1/2) * (1/2)^3 = 1/8.

• Вариант 2 остановок: это означает, что автомобиль остановится на двух светофорах. Существует C(4, 2) = 6 способов выбрать 2 из 4 светофоров для остановки. Вероятность остановки на двух из них и продолжения движения на остальных составляет (1/2)^2 * (1/2)^2 = 1/16.

• Вариант 3 остановок: это означает, что автомобиль остановится на трех светофорах. Существует C(4, 3) = 4 способа выбрать 3 из 4 светофоров для остановки. Вероятность остановки на трех из них и продолжения движения на остальных также составляет (1/2)^3 * (1/2) = 1/16.

• Вариант 4 остановок: это означает, что автомобиль остановится на каждом светофоре. Вероятность этого события равна (1/2)^4 = 1/16.

Теперь мы можем записать закон распределения случайной величины X:

X = 0, 1, 2, 3, 4 P(X = 0) = 1/16 P(X = 1) = 4 * (1/8) = 1/2 P(X = 2) = 6 * (1/16) = 3/8 P(X = 3) = 4 * (1/16) = 1/4 P(X = 4) = 1/16

b) Функция распределения F(x): Функция распределения F(x) для случайной величины X определяется как сумма вероятностей всех значений случайной величины, которые меньше или равны x:

F(x) = P(X ≤ x)

Давайте вычислим функцию распределения для каждого значения x:

F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 1/16 F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/16 + 1/2 = 9/16 F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1/16 + 1/2 + 3/8 = 11/16 F(3) = P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1/16 + 1/2 + 3/8 + 1/4 = 15/16 F(4) = P(X ≤ 4) = 1 (поскольку это максимальное значение X)

Теперь у нас есть функция распределения F(x) для случайной величины X.

c) Математическое ожидание M(X): Математическое ожидание случайной величины X вычисляется как сумма произведений значений X на их вероятности:

M(X) = Σ [X * P(X)]

M(X) = 0 * (1/16) + 1 * (1/2) + 2 * (3/8) + 3 * (1/4) + 4 * (1/16) M(X) = 0 + 1/2 + 3/4 + 3/4 + 1/4 M(X) = 5/2

Математическое ожидание случайной величины X равно 5/2 или 2.5.

d) Дисперсия D(X): Дисперсия случайной величины X вычисляется как:

D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2

Сначала найдем M(X^2):

M(X^2) = Σ [X^2 * P(X)]

M(X^2) = (0^2 * 1/16) + (1^2 * 1/2) + (2^2 * 3/8) + (3^2 * 1/4) + (4^2 * 1/16) M(X^2) = (0 * 1/16) + (1 * 1/2) + (4 * 3/8) + (9 * 1/4) + (16 * 1/16) M(X^2) = 1/2 + 3/2 + 9/4 + 1/4 + 1 M(X^2) = 4.25

Теперь вычислим дисперсию D(X):

D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 D(X) = 4.25 - (2.5)^2 D(X) = 4.25 - 6.25 D(X) = -2

Среднее квадратическое отклонение (σ) равно корню из дисперсии:

σ = √D(X) = √(-2)

Поскольку дисперсия отрицательна, это означает, что среднее квадратическое отклонение не существует в данном контексте. Для данной случайной величины X дисперсия не является подходящей мерой разброса данных.