Question

5. Моторний човен пройшов 24 км за течією річки і 40 км проти течії, затративши на весь шлях 7 год. Знайти швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії рiчки 2 км/год.​

Answer 1

Відповідь:

Швидкість човна у стоячій воді 10 км/год.​

Пояснення:

Позначимо власну швидкість човна ( у стоячій воді ) як Х км./год. У такому випадку швидкість човна за течією річки дорівнює ( Х + 2 ) км./год., а його швидкість проти течії річки дорівнює ( Х - 2 ) км./год.

Час, що човен витратив на шлях за течією річки дорівнює ( 24 / ( Х + 2 ) ) годин, а час на подолання шляху проти течії річки дорівнює ( 40 / ( Х - 2 ) ) годин. За умовами задачі на подолання всього шляху по річці човен витратив 7 години. Отримаємо рівняння:

24 / ( Х + 2 ) + 40 / ( Х - 2 ) = 7

Приведемо дроби до спільного знаменника, та помножимо на нього обидві частини рівняння:

24 × ( Х - 2 ) + 40 × ( Х + 2 ) = 7 × ( Х + 2 ) × ( Х - 2 )

24Х - 48 + 40Х + 80 = 7Х² + 14Х - 14Х - 28

7Х² - 64Х - 60 = 0

Вирішимо квадратне рівняння.

Знайдемо діскрімінант:

D = 64² - 4 × 7 × ( -60 ) = 4096 + 1680 = 5776

Знайдемо корні квадратного рівняння:

Х1 = ( 64 + √5776 ) / ( 2 × 7 ) = ( 64 + 76 ) / 14 = 10 км./год.

Х2 = ( 64 - √5776 ) / ( 2 × 7 ) = ( 64 - 76 ) / 64 = -0,86 км./год.

Другий корінь відкидаємо, тому, що власна швидкість човна не може бути негативною.

Перевірка:

Власна швидкість човна 10 км./год., а швидкість течії річки 2 км/год.​ У такому випадку швидкість човна за течією річки дорівнює 10 + 2 = 12 км./год., а його швидкість проти течії річки дорівнює 10 - 2 = 8 км./год.

Час, що човен витратив на шлях за течією річки дорівнює 24 / 12 = 2 години, а час на подолання шляху проти течії річки дорівнює 40 / 8 = 5 годин. За умовами задачі на подолання всього шляху по річці човен витратив 7 години.

2 + 5 = 7

7 = 7

Все вірно.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі, вам слід використовувати формулу відстані, часу і швидкості:

$\text{Відстань} = \text{Швидкість} \times \text{Час}$

Спершу розглянемо швидкість човна вниз по річці (за течією). Нехай $V_c$ - це швидкість човна в стоячій воді, а $V_t$ - швидкість течії річки. Тоді швидкість човна вниз по річці буде $V_c + V_t = V_c + 2$ км/год.

Відстань, яку пройшов човен за течією, дорівнює 24 км, і час, який він витратив на це, можна позначити як $T_1$.

$24 = (V_c + 2) \cdot T_1$

Тепер розглянемо швидкість човна вгору по річці (проти течії). В цьому випадку швидкість човна буде $V_c - V_t = V_c - 2$ км/год.

Відстань, яку пройшов човен проти течії, дорівнює 40 км, і час, який він витратив на це, можна позначити як $T_2$.

$40 = (V_c - 2) \cdot T_2$

Також зазначено, що час, витрачений на весь шлях, дорівнює 7 годинам:

$T_1 + T_2 = 7$

Тепер у нас є система рівнянь з трьома невідомими: $V_c$, $T_1$, і $T_2$. Ми можемо вирішити цю систему рівнянь для знаходження $V_c$.

Спочатку розв'яжемо друге і третє рівняння відносно $T_2$ і $T_1$:

$T_2 = 7 - T_1$

Підставимо це в друге рівняння:

$40 = (V_c - 2) \cdot (7 - T_1)$

Розкриємо дужки:

$40 = 7V_c - 2 \cdot 7 - 2V_cT_1$

$40 = 7V_c - 14 - 2V_cT_1$

Тепер ми можемо виразити $T_1$ відносно $V_c$:

$2V_cT_1 = 7V_c - 14 - 40$

$2V_cT_1 = 7V_c - 54$

$T_1 = \frac{7V_c - 54}{2V_c}$

Тепер підставимо це значення в перше рівняння:

$24 = (V_c + 2) \cdot \frac{7V_c - 54}{2V_c}$

Помножимо обидві сторони на $2V_c$ для позбавлення від знаменника:

$48V_c = (V_c + 2) \cdot (7V_c - 54)$

Розкриємо дужки:

$48V_c = 7V_c^2 - 54V_c + 14V_c - 108$

Спростимо рівняння:

$0 = 7V_c^2 - 92V_c - 108$