Question

Моторний човен пройшов 8 км за течією річки і 5км проти течії, витративши на весь шлях 1 годину. Знайти швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії становить 3км/год. ( через х позначено швидкість човна у стоячій воді ).

Answer 1

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда (х + 3) км/ч - скорость лодки по течению реки, (х - 3) км/ч - скорость лодки против течения реки.    Уравнение:

8/(х+3) + 5/(х-3) = 1

8 · (х - 3) + 5 · (х + 3) = 1 · (х + 3) · (х - 3)

8х - 24 + 5х + 15 = 1 · (х² - 3²)

13х - 9 = х² - 9

0 = х² - 9 - 13х + 9

х² - 13х = 0

D = b² - 4ac = (-13)² - 4 · 1 · 0 = 169 - 0 = 169

√D = √169 = 13

х₁ = (13-13)/(2·1) = 0/2 = 0

х₂ = (13+13)/(2·1) = 26/2 = 13

Вiдповiдь: 13 км/год.

Проверка:

8/(13+3) + 5/(13-3) = 8/16 + 5/10 = 1/2 + 1/2 = 2/2 = 1 (ч) - время в пути

Answer 2

Давайте позначимо швидкість човна у стоячій воді як "х" км/год.

Швидкість човна за течією річки буде "х + 3" км/год, оскільки течія додає до швидкості човна.

Швидкість човна проти течії річки буде "х - 3" км/год, оскільки течія віднімається від швидкості човна.

Знаючи, що відстань = швидкість x час, можемо записати дві рівняння за умовами задачі:

1. Для першого випадку (з течією річки): 8 км = (х + 3) км/год * час1 (у годинах)

2. Для другого випадку (проти течії річки): 5 км = (х - 3) км/год * час2 (у годинах)

Також умова говорить про те, що час, витрачений на весь шлях, дорівнює 1 годині:

час1 + час2 = 1 год.

Тепер вирішимо цю систему рівнянь.

З першого рівняння виразимо час1: час1 = 8 км / (х + 3) км/год

З другого рівняння виразимо час2: час2 = 5 км / (х - 3) км/год

Підставимо вирази за часи у рівняння для суми часів:

8 км / (х + 3) км/год + 5 км / (х - 3) км/год = 1 год.

Тепер знайдемо спільний знаменник:

(8(х - 3) + 5(х + 3)) / ((х + 3)(х - 3)) = 1

Розкриємо дужки:

(8х - 24 + 5х + 15) / ((х + 3)(х - 3)) = 1

Об'єднаємо подібні доданки:

(13х - 9) / ((х + 3)(х - 3)) = 1

Тепер помножимо обидві сторони рівняння на (х + 3)(х - 3), щоб позбутись знаменника:

13х - 9 = (х + 3)(х - 3)

Розкриємо дужки і перенесемо усі члени в одну частину:

13х - 9 = х^2 - 9

Тепер перенесемо усі члени в один бік рівняння:

х^2 - 13х + 9 = 0

Це квадратне рівняння. Тепер можна його вирішити, наприклад, за допомогою квадратного рівняння.

Але перед тим, переконаймося, що х = 3 (тобто швидкість човна у стоячій воді 3 км/год) не викликає ділення на нуль у вихідному рівнянні:

(х + 3)(х - 3) = (3 + 3)(3 - 3) = 6 * 0 = 0.

Отже, х = 3 є коренем нашого рівняння.

Тепер можна розв'язати квадратне рівняння:

х^2 - 13х + 9 = 0

(х - 3)(х - 3) = 0

Отримали два однакові корені x = 3.

Значить, швидкість човна у стоячій воді дорівнює 3 км/год.