Question

Знайти похідну y=3tg×x/5​

Answer 1

Для знаходження похідної функції $y = 3\tan\left(\frac{x}{5}\right)$, ми використовуємо правило диференціювання тангенсу:

$$\frac{d}{dx}\left(\tan(u)\right) = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}$$

У нашому випадку $u = \frac{x}{5}$, тому $\frac{du}{dx} = \frac{1}{5}$.

Тепер підставимо це в правило диференціювання:

$$\frac{dy}{dx} = 3\sec^2\left(\frac{x}{5}\right) \cdot \frac{1}{5}$$

Для того, щоб завершити обчислення, нам потрібно виразити $\sec^2$ через $\tan$. Відомо, що $\sec^2(u) = 1 + \tan^2(u)$. Тобто:

$$\sec^2\left(\frac{x}{5}\right) = 1 + \tan^2\left(\frac{x}{5}\right)$$

Знаючи, що $\tan(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$, ми можемо замінити $\tan^2\left(\frac{x}{5}\right)$ на $\frac{\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{5}\right)}$:

$$\sec^2\left(\frac{x}{5}\right) = 1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{5}\right)}$$

Тепер ми можемо підставити це значення назад в наше вираз для $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = 3\left(1 + \frac{\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)}{\cos^2\left(\frac{x}{5}\right)}\right) \cdot \frac{1}{5}$$

Отже, похідна функції $y = 3\tan\left(\frac{x}{5}\right)$ дорівнює:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5} + \frac{3\sin^2\left(\frac{x}{5}\right)}{5\cos^2\left(\frac{x}{5}\right)}$$