Question

1.Знайти похідну функції:f(x)=1|4 x8-8 2.Обчисліть похідну в точці х0: а)f(x)=2x²-4√x, x0=4 Відповіді:а)16 б)7 в)15 г)14 б)f(x)=2•3x,x0=2 Відповіді: а)181n3 б)361n3 в)18 г)91n3 3.Точка рухається за законом S(t)=2t³- 1|2 t²+3t.Знайдіть миттєву швидкість точки в момент t=3c(s-в метрах). 4.Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у=х³+2х²+1 в точці х0=-1 з віссю абсцис. 5.Знайди похідну функції: а)у=-2х sin x; б)у=2х-3х²; 3х-4 в)у=2(3х5-х)6.

Answer 1

Решение
1.Знайти похідну функції:f(x)=1|4 x^8-8
f`(x) = 8 * (1/4)x⁸⁻¹ - 0 = 2x⁷
2.Обчисліть похідну в точці х0:а)
f(x)=2x²-4√x, x0=4
f`(x) = 4x - 4 / (2√x) = 4x - 2/√xf`(4) = 4*4* - 2 / √4 = 16 - 1 = 15
Відповіді:а)16 б)7 в)15 г)14
б)f(x)=2•(3^x),x0= 2
f`(x) = [2*(3^x)]` = 2 * (3^x)*ln3 f`(- 2) = 2 * (3^(2))*ln3 = 18ln3
Відповіді: а)181n3 б)361n3 в)18 г)91n3
3.Точка рухається за законом S(t)=2t³- 1|2 t²+3t.Знайдіть миттєву швидкість точки в момент t=3c(s-в метрах).
v(t) =  (2t³- (1/2) t²+3t)` = 6t² - t + 3v(3) = 6*9 -  3 + 3 = 54 (м/с)
4.Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у=х³+2х²+1 в точці х0=-1 з віссю абсцис.
y` = 3x² + 4xy`(-1) = 3 - 4 = - 1
tgα = - 1α = - π/4 = 135°
5.Знайди похідну функції:
а) у=-2х sin x;
y` = - 2sinx - 2xcosx
б) у=2х-3х²;
y` = 2 - 6xв)
у=2(3х5-х)^6.
y` = 12(3x⁵ - x)⁵ * (15x⁴ - 1)

Answer 2

1. Знайдемо похідну функції f(x) = (1/4)x^8 - 8.

f'(x) = d/dx[(1/4)x^8 - 8] f'(x) = (1/4) * 8x^7 - 0 (похідна сталої -8 дорівнює нулю) f'(x) = 2x^7

2.а) Знайдемо похідну функції f(x) = 2x² - 4√x, в точці x0 = 4.

f'(x) = d/dx[2x² - 4√x] f'(x) = 2 * 2x - 4 * (1/2) * x^(-1/2) f'(x) = 4x - 2/√x

Підставимо значення x0 = 4: f'(4) = 4 * 4 - 2/√4 f'(4) = 16 - 2/2 f'(4) = 16 - 1 f'(4) = 15

Отже, відповідь: в) 15.

2.б) Знайдемо похідну функції f(x) = 2•3x, в точці x0 = 2.

f'(x) = d/dx[2•3x] f'(x) = 2 * 3 * d/dx[x] f'(x) = 6

Отже, відповідь: а) 6.

3. Знайдемо миттєву швидкість точки в момент t = 3 c (секунди).

Для знаходження миттєвої швидкості, візьмемо похідну від функції S(t) = 2t³ - (1/2)t² + 3t.

S'(t) = d/dt[2t³ - (1/2)t² + 3t] S'(t) = 6t² - 2 * (1/2) * t + 3 S'(t) = 6t² - t + 3

Підставимо значення t = 3: S'(3) = 6 * 3² - 3 + 3 S'(3) = 6 * 9 - 3 + 3 S'(3) = 54 - 3 + 3 S'(3) = 54

Отже, миттєва швидкість точки в момент t = 3 секунди дорівнює 54 метра на секунду.

4. Знайдемо кут нахилу дотичної до графіка функції y = x³ + 2x² + 1 в точці x0 = -1 з віссю абсцис.

Кут нахилу дотичної до графіка функції в точці x0 дорівнює значенню похідної функції в цій точці.

y'(x) = d/dx[x³ + 2x² + 1] y'(x) = 3x² + 2 * 2x + 0 y'(x) = 3x² + 4x

Підставимо значення x0 = -1: y'(-1) = 3 * (-1)² + 4 * (-1) y'(-1) = 3 - 4 y'(-1) = -1

Отже, кут нахилу дотичної до графіка функції в точці x0 = -1 з віссю абсцис дорівнює -1.

5. Знайдемо похідну функцій:

а) y = -2x * sin(x)

y' = d/dx[-2x * sin(x)] y' = -2 * sin(x) + (-2x) * cos(x) y' = -2(sin(x) + x * cos(x))

б) y = 2x - 3x²

y' = d/dx[2x - 3x²] y' = 2 - 3 * 2x y' = 2 - 6x

в) y = 2(3x^5 - x)^6

y' = d/dx[2(3x^5 - x)^6] y' = 2 * 6(3x^5 - x)^5 * d/dx[3x^5 - x] y' = 12(3x^5 - x)^5 * (15x^4 - 1) y' = 12(3x^5 - x)^5 * 15x^4 - 12(3x^5 - x)^5

Отже, похідні функцій будуть: а) y' = -2(sin(x) + x * cos(x)) б) y' = 2 - 6x в) y' = 12(3x^5 - x)^5 * 15x^4 - 12(3x^5 - x)^5