Question

Доказать, что последовательность не ограниченная {(n-n^4)/(n+2)^3}​

Answer 1

Чтобы доказать, что данная последовательность не ограничена, давайте рассмотрим ее предел, если он существует. Если предел равен бесконечности или минус бесконечности, то последовательность будет неограниченной.

Для нахождения предела последовательности {(n - n^4) / (n + 2)^3} используем правило Лопиталя, если предел неопределенности. В данном случае, можно видеть, что при n, стремящемся к бесконечности, числитель и знаменатель последовательности также стремятся к бесконечности. Поэтому у нас есть неопределенность ∞ / ∞.

Применим правило Лопиталя:

lim (n → ∞) (n - n^4) / (n + 2)^3

Используем правило Лопиталя:

lim (n → ∞) [d/dn(n - n^4)] / [d/dn(n + 2)^3]

Вычислим производные:

lim (n → ∞) [1 - 4n^3] / [3(n + 2)^2]

Теперь вычислим предел:

lim (n → ∞) [1 - 4n^3] / [3(n + 2)^2]

Поскольку числитель и знаменатель оба стремятся к бесконечности (первый к -∞, второй к +∞), то мы имеем дело с неопределенностью ∞ / ∞.

Применим правило Лопиталя еще раз:

lim (n → ∞) [-12n^2] / [6(n + 2)]

Упростим:

lim (n → ∞) -2n^2 / (n + 2)

Теперь мы видим, что при n, стремящемся к бесконечности, числитель -2n^2 стремится к бесконечности отрицательного знака, а знаменатель n + 2 также стремится к бесконечности. Итак, предел равен:

lim (n → ∞) -2n^2 / (n + 2) = -∞

Поскольку предел последовательности равен -∞, это означает, что последовательность {(n - n^4) / (n + 2)^3} не ограничена, так как она стремится к минус бесконечности при n, стремящемся к бесконечности.